在探讨雇主雇佣雇员，而雇员在执行职务过程中造成第三人伤害的责任承担问题时，我们需要从多个法律主体和复杂的法律关系出发，进行详细的分析。

一、基本责任归属原则

1. 雇主替代责任：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，雇员在从事雇佣活动中，因执行工作任务造成第三人损害的，原则上由雇主（或接受劳务的一方）承担侵权责任。这一原则体现了“替代责任”的理念，即雇主应当对雇员在职务范围内的行为负责，即使雇主本身并没有直接的过错。

2. 雇员个人责任：

   • 如果雇员在执行职务过程中，因故意或重大过失造成第三人损害，那么雇员需要与雇主承担连带赔偿责任。这里的“故意”指的是雇员明知自己的行为会导致损害结果，却仍然希望或放任这种结果的发生；“重大过失”则指的是雇员严重违反了应有的注意义务，对损害的发生有明显的过错。

二、雇佣活动的认定标准

• 在判断雇员的行为是否属于雇佣活动时，关键在于看该行为是否在雇主的授权范围内，或者是否与执行职务有内在的联系。例如，快递员在送快递的途中发生事故，这通常会被认定为雇佣活动，因此雇主需要承担责任。

三、特殊情况下的责任划分

1. 非职务行为：

   • 如果雇员的行为完全与个人事务相关，与执行职务无关，比如下班途中因个人恩怨造成他人伤害，那么这种情况下应由雇员个人承担责任，雇主不承担任何责任。

2. 共同过错：

   • 当第三人对损害的发生也有过错时，比如雇员在驾驶时疏忽大意，而第三人又闯红灯，那么责任应根据双方的过错程度进行分担。具体的分担比例需要根据案件的具体情况来判断。

四、雇主的追偿权

• 雇主在承担了赔偿责任后，如果发现雇员存在故意或重大过失，那么雇主有权向雇员进行追偿。这一规定既体现了法律的公正性，也促使雇员在执行职务时更加谨慎小心。

五、与工伤认定的区别

• 需要特别注意的是，雇员造成第三人伤害的情形并不属于工伤认定的范围。工伤主要针对的是雇员自身在工作过程中受到的伤害，而这里讨论的是雇员对第三人造成的伤害责任。因此，在处理这类案件时，不能适用《工伤保险条例》的相关规定。

结论

综上所述，雇员在执行职务过程中造成第三人伤害的责任承担应遵循以下原则：首先，由雇主承担替代责任；其次，如果雇员存在故意或重大过失，需要与雇主承担连带赔偿责任，并且雇主在承担责任后有权向雇员进行追偿；最后，需要区分雇佣活动与非职务行为，以及考虑第三方过错对责任划分的影响。这些原则共同构成了处理此类案件的法律依据和逻辑框架。希望这个解答能够帮助您更好地理解这个问题。