结论：公司法定代表人死亡后，实际控制人是否承担责任及承担何种责任，需根据具体情况判断，主要包括是否履行了相应义务、是否存在过错或违法行为等因素。

详细分析：

1. 实际控制人的定义与角色：

   • 实际控制人，通常指的是虽不是公司的法定代表人或股东，但通过投资关系、协议或者其他安排，能够实际支配公司行为的人。他们可能并不直接参与公司的日常经营管理，但对公司的重大决策有着决定性的影响。

2. 法定代表人死亡后的公司运营：

   • 法定代表人死亡后，公司应依法进行法定代表人的变更登记。在此期间，公司的运营不应因此受到严重影响，因为公司的法人资格并不因法定代表人的死亡而消灭。
   • 实际控制人在此期间应确保公司的正常运营，包括但不限于维护公司财产安全、保障员工权益、继续履行合同等。

3. 实际控制人可能承担的责任：

   • 如果实际控制人未履行相应义务：如未及时办理法定代表人变更登记、未妥善保管公司财产、未继续履行合同等，导致公司遭受损失的，实际控制人可能需承担相应的赔偿责任。
   • 如果实际控制人存在过错或违法行为：如利用实际控制地位进行欺诈、挪用公司资金、侵占公司财产等，实际控制人不仅需承担民事赔偿责任，还可能面临行政处罚或刑事责任。
   • 特定情境下的责任：在某些特定情境下，如公司破产或清算时，实际控制人如果存在逃避债务、隐匿财产等行为，也可能被追究法律责任。

4. 实际控制人如何避免责任：

   • 遵守法律法规：实际控制人应严格遵守国家法律法规，确保公司的运营合法合规。
   • 履行忠实和勤勉义务：实际控制人应对公司尽忠实和勤勉义务，维护公司的利益和声誉。
   • 及时办理变更登记：在法定代表人死亡后，实际控制人应尽快办理法定代表人的变更登记手续，确保公司的正常运营。
   • 建立健全内部控制制度：实际控制人应推动公司建立健全内部控制制度，防范风险，确保公司财产安全。

建议：

• 对于公司实际控制人而言，应时刻关注公司的运营状况，确保公司的合法合规运营。在法定代表人死亡等特殊情况下，应积极采取措施，确保公司的正常运营和财产安全。
• 如果实际控制人不确定自己是否应承担责任或如何承担责任，建议及时咨询专业律师，以便得到更具体、更专业的法律建议。

在实际操作中，每个案件的具体情况都有所不同，因此实际控制人是否承担责任及承担何种责任，还需根据具体案件的事实和证据来判断。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。