结论：打骚扰电话是否构成寻衅滋事，需根据具体情形和情节严重程度来判断，一般不直接构成寻衅滋事罪，但可能违反《治安管理处罚法》或构成其他犯罪。以下从不同角度详细分析：
一、一般不构成寻衅滋事罪的情况
- 轻微骚扰行为：
- 如果只是偶尔、轻微地拨打骚扰电话，如打一两通电话进行调侃但无严重侮辱、威胁等内容的，且未造成严重后果，这种行为通常不构成寻衅滋事罪。
- 在此情况下，该行为可能违反《治安管理处罚法》第四十二条第（五）项的规定，即多次发送淫秽、侮辱、恐吓或者其他信息（此处“信息”可广义理解为包括电话骚扰），干扰他人正常生活的，将面临五日以下拘留或者五百元以下罚款的处罚；情节较重的，则处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。但需注意，此处的“多次”一般指三次及以上。
二、可能构成寻衅滋事罪的情况
情节恶劣的骚扰行为：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条的规定，寻衅滋事罪包括追逐、拦截、辱骂、恐吓他人且情节恶劣等行为，这些行为破坏了社会秩序。
- 若拨打骚扰电话的行为符合“追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣”的情形，例如长期、频繁地给他人拨打大量带有侮辱、威胁性的电话，导致受害人产生心理恐惧、精神受到严重影响，或正常生活和工作受到极大干扰，甚至因此导致受害人自杀、精神失常等严重后果，则可能被认定为寻衅滋事罪。
特殊类型的骚扰电话：
- 骚扰急救电话：若频繁拨打急救电话，无故占用公共资源，严重干扰了急救服务的正常进行，特别是在紧急医疗资源紧张的特殊时期骚扰，导致真正需要救助的患者无法及时获得帮助，甚至危及生命安全，且严重扰乱急救中心的工作流程，使得急救人员无法高效应对紧急情况，这种行为若达到情节恶劣的程度，将构成寻衅滋事罪。
三、其他可能的法律后果
行政处罚：
- 对于情节较轻，未构成犯罪的骚扰电话行为，将依据《治安管理处罚法》进行处罚，包括五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款；情节较轻的，则处五日以下拘留或五百元以下罚款。
刑事犯罪（非寻衅滋事罪）：
- 如果骚扰电话的内容涉及诈骗、诽谤、侵犯个人隐私等其他违法行为，还可能构成其他罪名，如诈骗罪、诽谤罪、侵犯公民个人信息罪等。
四、应对措施与建议
保留证据：
- 遇到拨打骚扰电话的情况，建议及时保留证据，如通话记录、录音等，以便后续维权。
向警方报案：
- 向警方报案，让警方进行调查处理。警方会根据具体情况判断行为的性质，并采取相应的法律措施。
加强自我保护：
- 对于频繁受到骚扰电话的情况，可以考虑更换电话号码或使用电话拦截软件等措施来加强自我保护。
总结：打骚扰电话的法律后果取决于行为的具体情形和情节严重程度。轻微行为可能面临行政处罚，而严重行为则可能构成刑事犯罪，但不一定是寻衅滋事罪，需依据具体情况判定。因此，建议公众在日常生活中遵守法律法规，尊重他人的合法权益，避免拨打骚扰电话等违法行为。如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。