结论：公司名字下来后，开个体店一般不能直接使用公司的名字，但具体能否使用需视情况而定，主要取决于公司是否拥有该名称的商标权以及个体店是否获得公司的授权。

分析说明：

1. 商标权角度：

   • 公司名称和商标是两个不同的概念。公司名称是公司在工商行政管理部门注册登记的名称，而商标则是用于区分商品或服务来源的标志。
   • 如果公司已经将其名称注册为商标，并且该商标在相关商品或服务类别上享有专用权，那么未经公司许可，其他经营者（包括个体店）不得使用该商标或与之近似的标志，否则可能构成商标侵权。

2. 授权使用角度：

   • 即使公司没有将其名称注册为商标，但如果公司愿意授权个体店使用其名称，并且双方签订了书面授权协议，明确了授权范围、期限、费用等条款，那么个体店在协议约定的范围内是可以使用公司名称的。
   • 然而，这种授权使用需要谨慎处理，因为可能涉及不正当竞争、消费者混淆等法律问题。特别是如果个体店使用公司名称进行虚假宣传或误导消费者，公司可能需要承担相应的法律责任。

3. 个体店命名规定：

   • 个体店在命名时，需要遵守相关法律法规和工商行政管理部门的规定。一般来说，个体店的名称应当真实、合法、不侵犯他人权益，并且不得与已注册的公司名称或商标相同或近似。
   • 如果个体店想要使用与公司名称相似的名称，建议先进行商标查询和名称查重，以确保不侵犯他人权益。

法律建议：

• 如果您作为公司方，想要保护自己的名称不被他人滥用，可以考虑将其注册为商标，并加强商标管理和维权工作。
• 如果您作为个体店经营者，想要使用与公司名称相似的名称，建议先与公司进行沟通协商，获得公司的书面授权或许可。
• 在任何情况下，都应当遵守相关法律法规和工商行政管理部门的规定，确保个体店的命名合法、合规。

后续行动：

• 如果您需要进一步了解商标注册、授权使用或个体店命名等方面的法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。