结论前置：公司是否需要向试用期转正后第一个月被辞退的员工支付赔偿，主要取决于辞退的原因。若公司能证明员工存在不符合录用条件、严重违反公司规章制度或存在失职、营私舞弊等行为，则无需赔偿；反之，若公司无正当理由辞退员工，则需按法律规定支付经济补偿或赔偿金。
一、无需赔偿的情况
不符合录用条件：
- 尽管员工已经转正，但如果公司有充分证据证明员工在试用期内（或转正后短期内）的表现不符合招聘时明确规定的录用条件，如工作能力、业绩等不达标，公司可以合法解除劳动合同，且无需支付赔偿。
- 关键点：公司必须提供明确的录用条件及员工不符合该条件的证据，如招聘广告、岗位职责说明、员工绩效评估等。
严重违反公司规章制度：
- 员工在转正后若严重违反了公司合法有效的规章制度，如无故旷工多次、泄露公司重要商业机密等，公司有权依据规章制度解除劳动合同，且无需承担赔偿责任。
- 关键点：规章制度必须合法有效，且员工确实存在严重违反规章制度的行为。
存在失职、营私舞弊等行为：
- 员工在工作中若存在严重失职给公司造成重大损害，或有营私舞弊行为，公司同样有权解除劳动合同且无需赔偿。
- 关键点：公司需要证明员工的失职或营私舞弊行为给公司造成了重大损害。
二、需要赔偿的情况
若公司无法证明员工存在上述任何一种情形，而单方面辞退员工，则可能构成违法解除劳动合同。此时，公司需按照法律规定向员工支付经济补偿或赔偿金。
经济补偿标准：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算。对于刚过试用期转正一个月的员工，由于工作年限不满六个月，公司应当向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿 = 员工月工资 × 0.5（月工资指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资；若员工工作不满十二个月，则按实际工作的月数计算平均工资）。
赔偿金标准：
- 若公司违法解除劳动合同，还需依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。即在此情况下，公司需向员工支付一个月工资作为赔偿金。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = 员工月工资 × 1。
三、额外注意事项
- 劳动合同约定：员工应仔细查阅劳动合同中是否有关于此类情况的特别约定。若劳动合同中有相关条款，且不违反法律法规的强制性规定，双方应依约执行。
- 维权途径：若员工认为公司辞退行为违法，可通过与公司协商、向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼等方式维护自己的合法权益。
总结与建议：作为员工，在面临试用期转正后被辞退的情况时，应首先了解辞退的原因，并对照上述法律条款判断公司是否需要支付赔偿。若认为公司辞退行为违法，可积极收集证据，通过合法途径维护自己的权益。若有问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。