在认定书下来后双方私下和解的情况下，接下来可以按照以下步骤进行操作：
确认和解协议内容：
- 双方应详细、明确地记录和解的具体内容，包括但不限于赔偿金额、支付方式、支付时间、违约责任等关键条款。
- 和解协议应当是双方真实意思的表示，不存在欺诈、胁迫等情形，以确保协议的合法性和有效性。
签署和解协议：
- 双方应在和解协议上签字或盖章，以表示对协议内容的认可和接受。
- 如果可能的话，建议双方在签署和解协议时邀请第三方见证，如律师或公证员，以增加协议的可信度和执行力。
履行和解协议：
- 双方应按照和解协议的约定，按时、足额地履行各自的义务。
- 如果一方未按照协议履行义务，另一方有权依据协议要求违约方承担违约责任，甚至可以通过法律途径追究其法律责任。
考虑是否需要撤销原认定或诉讼：
- 如果双方的和解协议涉及对原认定或诉讼结果的改变，如赔偿金额的调整、责任划分的变更等，双方应考虑是否需要向相关部门或法院申请撤销原认定或诉讼。
- 在某些情况下，和解协议的达成可能自动导致原认定或诉讼的终止或撤销，但具体还需根据相关法律法规和案件情况来判断。
保留相关证据：
- 双方应妥善保管与和解协议相关的所有证据，如和解协议的原件、支付凭证、沟通记录等。
- 这些证据在后续可能出现的纠纷中将成为重要的证明材料，有助于维护双方的合法权益。
额外建议：
- 咨询专业律师：虽然双方已经私下和解，但为了确保和解协议的合法性和有效性，以及避免后续可能出现的纠纷，建议双方在签署和解协议前咨询专业律师的意见。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供法律上的指导和建议。
- 关注和解后的履行情况：和解协议签署后，双方应密切关注对方的履行情况，确保协议得到切实执行。如果一方出现违约行为，应及时采取措施维护自己的权益。
可能遇到的法律后果：
- 如果和解协议未得到切实履行，违约方可能面临法律责任，包括但不限于支付违约金、赔偿损失等。
- 如果和解协议涉及对原认定或诉讼结果的改变，但双方未按照规定程序申请撤销或变更，可能导致原认定或诉讼结果仍然有效，从而给双方带来不必要的法律风险。
希望以上建议能对你有所帮助。如果你在和解过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。