结论：工厂并非在任何时候都可以要求员工加班连班，员工在正常情况下有权拒绝工厂的加班要求，但在某些特殊紧急情况下，可能需要根据实际情况服从加班安排。

详细分析：

1. 加班需协商与同意：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，用人单位因生产经营需要延长工作时间的，必须与工会和劳动者进行协商，并征得劳动者的同意。这意味着，工厂不能单方面决定加班连班，而应与员工进行充分沟通并达成一致。例如，如果工厂因订单增加需要员工加班，必须事先与员工协商，并得到员工的同意。

2. 加班时间限制：

   • 法律对加班时间有严格规定。一般情况下，每日加班不得超过1小时；在特殊原因下，且需保障劳动者身体健康的条件下，每日加班时间可延长至3小时，但每月累计加班时间不得超过36小时。这些限制旨在保护劳动者的休息权和身体健康。如果工厂要求的加班时间超过了这些限制，员工有权拒绝。

3. 劳动者的拒绝权：

   • 如果工厂要求的加班时间超过了法律规定的限制，或者劳动者因个人原因（如家庭事务、身体不适等）不愿意加班，劳动者有权明确拒绝加班要求。这是劳动者的合法权益，工厂不得因此而对劳动者进行不利处理，如扣减工资、解除劳动合同等。

4. 特殊情况下的加班：

   • 在某些特殊紧急情况下，如发生自然灾害、事故等威胁人民生命健康和财产安全的事件，或生产设备、交通运输线路、公共设施发生故障需要紧急抢修时，劳动者可能需要根据实际情况服从加班安排。但这些情况下的加班也应遵循法律关于加班时间和加班费支付的规定。例如，在洪水灾害发生时，工厂可能需要员工加班抢修设备，以保障生产安全，此时员工应理解并配合。

5. 加班费的支付：

   • 无论是正常情况下的加班还是特殊情况下的加班，工厂都应依法向劳动者支付加班费。加班费的计算方式和标准由法律明确规定，工厂不得随意克扣或拖欠。例如，平日加班应支付不低于工资150%的加班费，休息日加班且不能安排补休的应支付不低于工资200%的加班费，法定节假日加班应支付不低于工资300%的加班费。

法律建议：

• 如果工厂强制要求员工加班连班且未依法支付加班费，员工可以通过与公司协商、申请劳动仲裁、向劳动监察部门投诉等合法途径来维护自身权益。
• 员工在拒绝加班要求时，应尽量保持冷静和理性，避免与工厂发生冲突。同时，员工可以保留相关证据，如加班通知、工资条等，以备不时之需。

可能后果：

• 如果工厂违反法律规定强制员工加班连班且未支付加班费，可能面临劳动监察部门的处罚，包括罚款、责令改正等。
• 员工如果因拒绝加班要求而遭到工厂的不利处理，如扣减工资、解除劳动合同等，可以通过法律途径维护自己的权益，并可能获得相应的赔偿。

总之，工厂并非在任何时候都可以要求员工加班连班，员工在正常情况下有权拒绝加班要求。如果遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。