在处理机动车左转快完成时被直行车辆撞了车尾的交通事故时，您可以遵循以下详细步骤来确保自身权益得到妥善处理：
一、确保安全与现场初步处理
保障人身安全：
- 立即开启危险报警闪光灯（双闪灯），以警示其他车辆。
- 如果条件允许，将车辆移至不妨碍交通的地方，如路边或紧急停车带。
- 在城市道路上，于车后50-100米处放置三角警示标志；在高速公路上，则需在车后150米以外设置，以防止二次事故的发生。
检查伤亡情况：
- 迅速检查车内及周围人员是否有伤势。
- 如有伤员，立即拨打120急救电话，并在确保自身安全的前提下，采取初步的急救措施。
初步收集证据：
- 使用手机或相机多角度拍摄事故现场，包括车辆的整体位置、碰撞部位、刹车痕迹、交通信号灯状态以及道路标识等。
- 记录对方车辆的信息，如车牌号、车型、颜色，以及驾驶员的信息，如姓名、联系方式、驾驶证号、行驶证号。
- 留意并记录目击证人的联系方式，以便后续调查。
二、报警与通知保险公司
立即报警：
- 拨打122报警电话，详细报告事故发生的时间、地点、涉及的车辆以及人员伤亡情况。
- 警方将到场进行事故认定，这是后续责任划分和赔偿处理的关键依据。
通知保险公司：
- 尽快联系自己的保险公司，报告事故详情。
- 保险公司将指导您后续的理赔流程，并通常要求在事故发生后24小时内报案。
三、配合警方与保险公司处理
避免随意承认责任：
- 在等待警方和保险公司到场期间，与对方驾驶员交换基本信息即可。
- 切勿随意承认事故责任或签署任何文件，以免对后续处理产生不利影响。
配合警方调查：
- 警方到达后，如实陈述事故经过，提供所收集的证据材料。
- 配合警方进行现场勘查，包括车辆位置、碰撞痕迹、刹车距离等。
与保险公司沟通：
- 向保险公司提供事故责任认定书、维修发票、医疗费用清单等所需资料。
- 按照保险合同的约定进行理赔，交强险先赔，不足部分由商业险按责任比例赔付。
四、责任认定与后续处理
责任判定：
- 根据交通法规，左转弯车辆需让直行车辆先行。但在此类事故中，如果直行车辆存在违法行为（如超速、闯红灯等），则可能承担主要或全部责任。
- 最终的责任划分以交警出具的《道路交通事故责任认定书》为准。
协商赔偿：
- 双方对责任认定无异议后，可协商赔偿事宜，包括车辆维修费、财产损失以及可能的人身损害赔偿。
- 达成一致后，签订赔偿协议，并保留好相关证据。
法律途径：
- 如果对责任认定或赔偿有异议，可咨询专业律师，了解自身的法律权益。
- 必要时，可向人民法院提起民事诉讼，通过法律途径维护自身的合法权益。
五、后续跟进与总结
- 及时跟进事故处理进度和理赔情况，确保所有事宜得到妥善处理。
- 保留所有相关文件、票据等资料，以备查询和使用。
- 对此次事故进行总结，吸取教训，提高驾驶安全意识，避免类似事故的再次发生。
在处理此类交通事故时，保持冷静、遵循程序是关键。从确保安全到报警、保留证据，再到配合警方处理和后续的保险理赔，每一步都需细致入微。希望这些建议能对您有所帮助。