刑事案件中启动公益诉讼监督程序并非一个直接且常见的概念，因为公益诉讼通常与环境保护、消费者权益保护等领域相关联，而刑事案件主要涉及的是对犯罪行为的追究和刑罚的执行。不过，若从广义上理解，将“公益诉讼监督程序”类比为对刑事案件审判活动的监督程序，即审判监督程序，那么可以依据相关法律规定来阐述其启动条件。以下是从这一角度给出的详细解答：
一、当事人及其法定代理人、近亲属的申诉
申诉主体：
- 当事人，包括被害人、自诉人、犯罪嫌疑人、被告人、附带民事诉讼的原告人和被告人。
- 当事人的法定代理人、近亲属也有权提出申诉。
申诉条件：
- 当存在新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误，且可能影响定罪量刑时。
- 据以定罪量刑的证据不确实、不充分，或依法应当予以排除，或证明案件事实的主要证据之间存在矛盾时。
- 原判决、裁定适用法律确有错误时。
- 违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判时。
- 审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为时。
申诉处理：
- 申诉由终审人民法院审查处理，但特定情况下（如第二审人民法院裁定准许撤回上诉的案件），申诉人可向第一审人民法院提出申诉。
- 上一级人民法院对未经终审人民法院审查处理的申诉，可告知申诉人向终审人民法院提出，或直接交终审人民法院审查处理，并告知申诉人；案件疑难、复杂、重大的，也可直接审查处理。
- 申诉的提出并不能停止判决、裁定的执行。
二、人民法院的自行启动
各级人民法院院长：
- 对本院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现在认定事实上或在适用法律上确有错误，必须提交审判委员会处理。
- 经审判委员会讨论决定再审的案件，应另行组成合议庭再审。
最高人民法院和上级人民法院：
- 对下级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现确有错误，有权提审或指令下级人民法院再审。
- 提审即由上级法院直接组成合议庭进行重新审判；指令再审则是指令原审法院或其他下级法院对案件进行重新审判。
三、人民检察院的抗诉
抗诉主体：
- 最高人民检察院对各级人民法院，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现确有错误，有权按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉。
抗诉条件：
- 与当事人申诉条件相似，包括有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误；据以定罪量刑的证据不确实、不充分或证明案件事实的主要证据之间存在矛盾；原判决、裁定适用法律确有错误；审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为等。
抗诉处理：
- 接受抗诉的人民法院应组成合议庭重新审理。
- 对于原判决事实不清楚或证据不足的，可以指令下级人民法院再审。
在刑事案件中，虽然直接提及“公益诉讼监督程序”的情况较少，但审判监督程序作为对刑事审判活动的重要监督机制，其启动条件与上述内容紧密相关。若您在实际操作中遇到相关问题，或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律分析和建议。