在故意杀人案件中，若犯罪嫌疑人被判死刑，受害人（或其家属）通常不可以直接起诉犯罪嫌疑人的父母。以下从几个角度进行详细分析：

1. 刑事责任与民事责任的区别：

   • 刑事责任：故意杀人是一种严重的刑事犯罪，犯罪嫌疑人需承担刑事责任，这由国家公诉机关（检察院）提起公诉，并由法院根据事实和法律进行判决。在此案例中，犯罪嫌疑人已被判死刑，即已承担了相应的刑事责任。
   • 民事责任：民事责任主要涉及因侵权行为导致的损害赔偿。在故意杀人案件中，受害人或其家属有权要求犯罪嫌疑人赔偿因其犯罪行为造成的物质损失和精神损害。然而，这种赔偿请求是针对犯罪嫌疑人本人的，而非其父母。

2. 父母的责任范围：

   • 在一般情况下，父母对子女的犯罪行为不承担直接的法律责任。除非父母存在教唆、帮助或共同实施犯罪等特殊情况，否则他们不会因子女的犯罪行为而被追究刑事责任或民事责任。
   • 父母对子女的抚养、教育和监护责任是道德和法律上的义务，但这并不意味着他们需要对子女的所有行为负责，特别是当子女达到法定年龄并具备完全民事行为能力时。

3. 受害人或其家属的救济途径：

   • 如果受害人或其家属希望获得赔偿，他们可以向犯罪嫌疑人提出民事赔偿请求。在刑事诉讼过程中，可以提起附带民事诉讼，要求犯罪嫌疑人赔偿因其犯罪行为造成的损失。
   • 如果犯罪嫌疑人没有足够的财产来支付赔偿，受害人或其家属可能会面临执行难的问题。但即便如此，这并不意味着他们可以起诉犯罪嫌疑人的父母来获得赔偿。

4. 特殊情况下的考虑：

   • 在极少数情况下，如果父母确实存在教唆、帮助或共同实施犯罪等行为，他们可能会被追究相应的法律责任。但这种情况需要具体的证据支持，并且通常不是受害人或其家属直接起诉父母，而是由国家公诉机关提起公诉。

总结与建议：

• 在故意杀人案件中，受害人或其家属应主要关注犯罪嫌疑人本人的刑事责任和民事责任。
• 如果希望获得赔偿，应通过合法途径向犯罪嫌疑人提出民事赔偿请求，并在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼。
• 除非有确凿证据表明父母存在教唆、帮助或共同实施犯罪等行为，否则通常不可以直接起诉犯罪嫌疑人的父母。

如果您在处理此类案件时遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。