结论：事业单位员工并不能随时辞职，而是需要根据不同情况遵循相应的法律规定和程序。
详细分析：
一般情况下的辞职规定：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三十一条及《事业单位人事管理条例》第十七条，事业编制员工辞职应提前30日以书面形式通知用人单位。若在试用期内，则需提前3日通知。这一规定确保了用人单位有足够的时间来安排工作交接和人员调整，同时也保障了员工的辞职权利。
合同约定的优先性：
- 若事业单位与工作人员在聘用合同中对解除聘用合同有特别约定，如服务期协议、最低服务年限等，则应按照该约定执行。这意味着，如果员工在合同期内违反约定擅自辞职，可能需要承担违约责任，如支付违约金或赔偿损失。
特殊情况下的辞职：
- 在特定情形下，事业编制员工可以随时通知用人单位解除劳动合同。这些情形包括：在试用期内的；用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动的；用人单位未按照劳动合同约定支付劳动报酬或者提供劳动条件的。这些规定为员工在遭受不公正待遇时提供了法律保障。
辞职后的相关手续：
- 辞职后，员工需要与单位办理一系列离职手续，包括工作交接、档案托管、社会保险等。这些手续的办理对于保障员工的合法权益和确保单位工作的连续性都至关重要。同时，单位和个人应在规定时间内互相配合办理人事档案转移手续，单位不得以任何理由扣留无聘用关系职工的人事档案。
法律建议：
- 提前规划：如果你打算辞职，建议提前规划好时间，确保在法定通知期限内提交书面辞职申请，并留出足够的时间来办理离职手续。
- 查阅合同：在决定辞职前，务必仔细查阅你与事业单位签订的聘用合同，特别是关于辞职、服务期、违约金等方面的条款，以确保你的辞职行为符合合同约定。
- 与单位沟通：辞职前，主动与单位的人事部门或相关负责人进行沟通，了解辞职手续的具体流程和要求，确保辞职过程的顺利进行。
- 保留证据：在辞职过程中，保留好所有相关的书面证据，如辞职申请、单位批复、工作交接记录等，以备不时之需。
可能后果：
- 如果员工未按规定程序擅自离职，可能会被认定为擅自离岗或旷工，此行为将被记入个人档案，对后续求职或进入公职系统可能造成不利影响。
- 如果员工违反服务期协议等特别约定擅自辞职，可能需要承担违约责任，如支付违约金或赔偿损失。
总之，事业单位员工辞职并非随意可行，而是必须严格遵守相关法律法规和聘用合同的约定。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。