当主债务人破产时，连带付款责任人的处理方式主要依据债权债务的法律关系以及破产法的相关规定来确定。以下是对此问题的详细解答：
一、连带债务人的责任分担
责任明确：
- 在连带债务关系中，各连带债务人之间对债务承担连带责任。这意味着债权人可以向任何一个连带债务人主张全部债权。
- 当其中一个连带债务人（如主债务人）破产时，其他连带债务人仍然对债权人负有清偿全部债务的责任。
债权申报：
- 债权人可以在主债务人的破产程序中申报债权，并按照破产法的法定顺序受偿。
- 债权人申报债权时，需要提交准确的债权证明材料，以确保其权益得到合法确认。
追偿权利：
- 如果未破产的连带债务人清偿了全部或部分债务，他们有权向破产的连带债务人（即主债务人）追偿。
- 追偿的方式通常是通过参与破产财产的分配来实现。
保证人或其他连带债务人的权利：
- 如果主债务人有保证人或其他连带债务人，并且这些保证人或其他连带债务人已经承担了保证责任或连带责任，他们同样有权向破产的主债务人追偿。
二、公司破产后连带责任人的处理
责任承担：
- 如果连带责任是基于民事法律关系（如合同约定）产生的，那么在公司破产后，连带责任人需要对公司未清偿的债务承担连带清偿责任。
- 如果连带责任是基于法定责任（如侵权）产生的，那么在公司破产后，受害人仍然可以向连带责任人请求赔偿。
债权人的追究方式：
- 债权人需要在规定的时间内向破产管理人申报债权，并提交相关债权证明材料。
- 如果确定存在连带责任人，债权人可以在破产程序中通过破产管理人要求连带责任人承担相应责任。
- 如果破产程序终结后发现遗漏债权或新情况，债权人可以另行起诉连带责任人。
法律责任：
- 连带责任人在公司破产后不能逃脱责任，而需要在自己承担的责任范围内给债权人或受害人承担相应的法律责任。
- 如果连带责任人承担了超过自己应承担份额的债务，他们有权向其他连带责任人进行追偿。
三、总结
综上所述，当主债务人破产时，连带付款责任人需要继续对债权人承担连带责任。他们可以通过债权申报、追偿权利等方式来维护自己的合法权益。同时，债权人也需要按照法定程序来追究连带责任人的责任。整个过程需要严格遵循法定程序，以确保各方权益得到公平、合法的保障。