当监视居住的期限达到六个月时，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关法律规定，后续的处理方式会依据案件的具体情况和法律规定来决定。以下是对这一问题的详细解答：
一、解除监视居住
适用情形：
- 如果案件在六个月内未侦查终结，或者证据不足以支持继续监视居住，公安机关应当依法解除监视居住措施。
- 如果犯罪嫌疑人、被告人不再符合监视居住的条件，例如疾病痊愈、危险性降低等，也可以提前解除监视居住。
程序要求：
- 公安机关需要制作《解除监视居住决定书》，并通知被监视居住人以及执行机关。
- 如果监视居住是采取保证金方式担保的，解除监视居住后应立即退还保证金；如果是保证人担保的，需要书面通知保证人解除其担保责任。
二、变更为其他强制措施
适用情形：
- 如果在监视居住期间发现犯罪嫌疑人、被告人有新的罪行或者漏罪，需要重新计算羁押期限，并可能将其转为拘留、逮捕等其他强制措施。
- 如果犯罪嫌疑人、被告人违反了监视居住的规定，情节严重，例如擅自离开居住地、干扰证人作证等，也可以将其转为拘留或逮捕。
- 如果案件重大复杂，需要继续侦查，公安机关可能会考虑延长监视居住的期限或者变更强制措施。
法律依据：
- 这一变更过程主要依据《刑事诉讼法》中关于强制措施变更的相关规定。
三、移送审查起诉或作其他处理
移送审查起诉：
- 如果案件已经侦查终结，且证据确实充分，公安机关会将案件移送检察机关进行审查起诉。
其他处理方式：
- 撤销案件：如果经过侦查发现犯罪嫌疑人、被告人不构成犯罪，或者依法不应追究其刑事责任，公安机关会撤销案件。
- 终止侦查：如果存在特定法定情形，例如同案犯未到案且无法继续侦查，公安机关可能会终止侦查。
四、注意事项
期限计算：
- 监视居住的期限最长不得超过六个月，但如果是指定居所监视居住，其期限可以折抵刑期。
- 在期限届满前，如果需要继续监视居住，必须及时办理延期手续或者变更强制措施。
权利保障：
- 被监视居住人有权申请变更强制措施，如果认为自己的合法权益受到侵害，可以向有关部门提出申诉或控告。
法律后果：
- 解除监视居住后，犯罪嫌疑人、被告人仍需配合后续的调查取证工作。
- 如果最终被判处管制、拘役或有期徒刑，先前监视居住的期间可以折抵相应的刑期。
综上所述，监视居住期限届满后的处理需严格遵循法律规定，并根据案件具体情况灵活应对。办案机关应确保决定的合法性和合理性，以保障当事人的合法权益。同时，当事人也应了解自己的法律权利和案件进展情况，以便依法行使申诉或辩护权利。