一般情况下，不能直接起诉和老公断了关系的第三者，但在特定情形下可以追究第三者的法律责任。以下从不同角度为你详细分析：
不能直接起诉第三者要求“断关系”或承担一般侵权责任的情况
从民事法律关系角度而言，婚姻关系主要涉及夫妻双方的权利义务。老公与第三者之间的关系，本质上属于道德范畴调整的内容，并不直接产生民事法律上的权利义务关系。在老公与第三者已经断了关系的情况下，你与第三者之间不存在直接的民事法律纠纷，没有明确的法律依据支持你直接起诉第三者要求其承担某种民事责任来“断关系” 。
例如，小张发现老公与小李有不正当关系，经过沟通老公与小李断绝了往来。此时小张若想起诉小李，由于缺乏直接的民事法律因果关系和明确的法律依据，法院通常不会支持小张的诉求。
可以追究第三者法律责任的特定情形
- 第三者侵犯名誉权
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》第一千零二十四条规定，民事主体享有名誉权。任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。如果第三者通过散布谣言、恶意诋毁等方式，对你的名誉造成损害，就侵犯了你的名誉权。
- 法律建议：你可以收集相关证据，如第三者散布谣言的聊天记录、证人证言、公开场合的言论记录等，向法院提起名誉权侵权诉讼，要求第三者停止侵害、消除影响、恢复名誉、赔礼道歉，并可以要求赔偿相应的精神损害抚慰金。
- 可能法律后果：如果法院认定第三者构成名誉权侵权，第三者需要承担上述相应的民事责任。
- 第三者与配偶重婚
- 法律背景：根据《中华人民共和国刑法》第二百五十八条规定，有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。如果第三者明知你老公有配偶，仍然与之以夫妻名义共同生活，或者与你老公登记结婚，就构成重婚罪。
- 法律建议：你可以向公安机关报案，由公安机关立案侦查。在刑事诉讼过程中，你也可以作为附带民事诉讼原告人，要求第三者赔偿因重婚行为给你造成的物质损失和精神损害。
- 可能法律后果：第三者如果被认定构成重婚罪，将面临二年以下有期徒刑或者拘役的刑事处罚，同时可能需要承担相应的民事赔偿责任。
- 第三者与配偶同居导致离婚，无过错方有权请求损害赔偿
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》第一千零九十一条规定，有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：（一）重婚；（二）与他人同居；（三）实施家庭暴力；（四）虐待、遗弃家庭成员；（五）有其他重大过错。如果第三者与你老公长期同居，导致你们夫妻感情破裂离婚，你作为无过错方，有权在离婚诉讼中请求损害赔偿。
- 法律建议：在离婚诉讼中，你需要提供证据证明第三者与你老公存在同居关系，如共同居住的租房合同、邻居的证人证言、亲密照片或视频等。法院会根据具体情况判决第三者与你老公共同承担相应的损害赔偿责任。
- 可能法律后果：法院会根据过错程度、经济能力等因素，判决第三者与你老公共同赔偿你一定的物质损失和精神损害抚慰金。
如果你遇到相关问题，有任何疑问都可以直接向我咨询，我会结合具体情况为你详细分析解答。