在肇事者因交通事故刑事案件被判刑一年零三个月后，接下来的程序主要涉及刑罚执行及相关法律程序，具体如下：

1. 刑罚执行：

   • 判决生效后，肇事者将被送往指定的监狱或看守所执行刑罚。在执行期间，肇事者需遵守监狱或看守所的规章制度，接受改造和教育。
   • 执行机关会根据肇事者的表现，如认罪悔罪态度、遵守监规纪律、参加劳动和学习等情况，对其进行考核，并可能根据考核结果给予相应的奖励或处罚，如减刑、假释等。

2. 上诉与抗诉期限的经过：

   • 若判决是在一审程序中作出的，且肇事者或检察机关未在法定期限内（通常为10日）提起上诉或抗诉，则判决将在上诉期满后生效。
   • 若判决是在二审程序中作出的，则判决自宣告之日起即生效，无需再经过上诉期。

3. 附带民事诉讼的执行：

   • 如果交通事故案件中存在附带民事诉讼，即受害者或其家属要求肇事者赔偿经济损失，那么在刑事判决生效后，民事赔偿部分将进入执行程序。
   • 执行机关会根据民事判决的内容，强制肇事者履行赔偿义务，如支付赔偿金、返还财产等。若肇事者拒不履行，执行机关可采取查封、扣押、拍卖等强制措施。

4. 社区矫正（如适用）：

   • 如果肇事者被判处的是缓刑，那么在缓刑考验期内，他需遵守社区矫正的相关规定，如定期报告活动情况、接受教育矫正等。
   • 缓刑考验期满且肇事者无违规行为的，原判刑罚将不再执行，并公开予以宣告。

5. 后续法律程序的可能性：

   • 在某些情况下，如发现新的证据或事实，可能引发再审程序，对原判决进行重新审查。但这种情况相对较少见，且需符合法律规定的再审条件。

针对您的情况，我建议：

• 若您是受害者或其家属，可关注民事赔偿部分的执行情况，确保自身权益得到保障。如有需要，可向执行机关申请强制执行。
• 若您是肇事者或其家属，应督促肇事者遵守刑罚执行期间的规定，积极接受改造和教育，争取早日回归社会。同时，也可关注是否有减刑、假释等法律程序的可能。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。