结论：员工提离职后不走，是否需要签订协议取决于具体情况，但通常建议签订书面协议以明确双方权利义务，避免后续纠纷。以下从不同角度进行分析：
一、员工正常提出离职但未按时离职的情况
法律背景：
- 根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。这是劳动者解除劳动合同的法定程序。
- 若员工已按照法定程序提出离职，但到期未离职，用人单位有权要求员工按照约定时间离职，或与员工协商延长离职时间。
是否需要签订协议：
- 建议签订：虽然法律没有明确规定必须签订协议，但为了明确双方的权利义务，避免后续因离职时间、工作交接、薪资结算等问题产生纠纷，建议用人单位与员工签订书面协议，明确离职时间、工作交接事项、薪资结算方式等。
- 协议内容：协议应包含离职日期、工作交接的具体内容和时间、薪资结算方式（包括是否支付经济补偿金、何时支付等）、保密义务、竞业限制（如适用）等条款。
法律后果：
- 若未签订协议，且后续因离职问题产生纠纷，双方可能因证据不足而难以维护自身权益。
- 若签订了协议，且协议内容合法有效，双方应按照协议履行义务，否则可能承担违约责任。
二、员工提出离职但存在特殊情况（如工伤、疾病等）需要延长离职时间的情况
法律背景：
- 若员工因工伤、疾病等特殊情况需要延长离职时间，用人单位应根据实际情况给予合理照顾，并可能涉及医疗期、工伤待遇等法律问题。
是否需要签订协议：
- 必须签订：在这种情况下，为了明确双方的权利义务，特别是关于延长离职时间、医疗期、工伤待遇等事项，必须签订书面协议。
- 协议内容：协议应包含延长离职的具体时间、医疗期的安排、工伤待遇的支付方式、工作交接的安排等条款。
法律后果：
- 若未签订协议，用人单位可能因未依法保障员工权益而面临法律责任，如支付违法解除劳动合同的赔偿金等。
- 若签订了协议，且协议内容合法有效，双方应按照协议履行义务，以维护各自的合法权益。
三、实际操作建议
- 及时沟通：员工提出离职后，用人单位应及时与员工沟通，了解离职原因和离职时间等事项。
- 签订协议：根据具体情况，与员工签订书面离职协议，明确双方的权利义务。
- 保留证据：在离职过程中，保留好相关证据，如离职申请、离职协议、工作交接单等，以备后续可能出现的纠纷。
总结：员工提离职后不走，是否需要签订协议取决于具体情况。但为了明确双方的权利义务，避免后续纠纷，建议用人单位与员工签订书面离职协议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。