当警察抓到涉嫌敲诈勒索的犯罪嫌疑人后，会按照一系列严谨且法定的程序来处理，以下是对这一流程的详细阐述：
一、立案侦查阶段
接受报案与初步审查：公安机关在接到关于敲诈勒索的报案或发现相关犯罪线索后，会首先对案件进行初步审查，以判断是否存在犯罪事实以及是否需要追究刑事责任。
立案决定：经过初步审查，如果公安机关认为有犯罪事实发生，且需要追究犯罪嫌疑人的刑事责任，那么就会作出立案决定，正式启动刑事侦查程序。
调查取证：立案后，公安机关会展开全面而细致的调查工作，这包括询问被害人、证人以获取证言，勘验现场以寻找物证，扣押与案件相关的物品等，以收集足够的证据来支持案件的进一步处理。
采取强制措施：在侦查过程中，如果公安机关认为犯罪嫌疑人可能存在逃跑、毁灭证据或继续犯罪的风险，那么可以依法对其采取拘留、逮捕等强制措施，以确保案件的顺利进行。
二、移送起诉阶段
侦查终结与起诉意见书制作：经过深入的调查，如果公安机关认为案件事实已经查清，且证据确实充分，足以认定犯罪嫌疑人构成敲诈勒索罪，那么就会制作起诉意见书，对犯罪嫌疑人的犯罪事实、证据以及应适用的法律条款进行详细阐述。
移送检察机关审查：随后，公安机关会将起诉意见书连同案卷材料、证据等一并移送至同级人民检察院，由检察机关进行审查决定是否提起公诉。
三、配合检察机关工作阶段
补充侦查：如果检察机关在审查过程中认为案件需要进一步补充侦查，那么公安机关会按照检察机关的要求，补充相关证据和材料，以确保案件的完整性和准确性。
接受法律监督：在整个诉讼过程中，公安机关需要接受检察机关的法律监督，确保侦查活动的合法性和合规性，维护司法公正。
四、审判阶段（公安机关间接参与）
出庭作证：在法院审理阶段，公安机关的侦查人员可能会作为证人出庭，就案件的侦查过程、证据收集情况等进行作证，以协助法院查明案件事实。
执行判决：如果被告人被法院判处刑罚，那么公安机关将负责执行有期徒刑、拘役、管制等刑罚，并协同司法行政机关做好社区矫正工作，确保刑罚的有效执行。
五、后续处理阶段
涉案财物处理：对于查封、扣押的涉案财物，公安机关将根据法院的判决依法进行处置，如返还被害人、上缴国库等。
总结反思与提升：案件办结后，公安机关还会对办案过程进行总结反思，分析存在的问题和不足，以提升执法水平和办案质量。
综上所述，警察抓到敲诈勒索的犯罪嫌疑人后，会按照一系列法定程序进行严谨而细致的处理，以确保案件的公正、公平和有效解决。