核心结论：在校园霸凌行政处罚决定下达后双方想和解，需分情况处理，一是行政处罚已执行完毕，二是行政处罚尚未执行或正在执行过程中，以下为具体说明：

1. 若行政处罚已执行完毕
   • 和解的可行性：行政处罚一旦执行完毕，其法律效力已经实现，原则上不能因为双方和解而直接撤销或变更已执行的行政处罚。不过，和解对于后续可能涉及的民事赔偿等问题具有重要意义。
   • 和解的内容与作用：双方可以就因校园霸凌行为给受害方造成的身体伤害、财产损失等民事方面进行协商和解。达成和解协议后，加害方应按照协议约定履行赔偿等义务。例如，加害方赔偿受害方医疗费、护理费、营养费、精神损害抚慰金等合理费用。这种和解有助于修复双方关系，减少矛盾冲突，同时也能让受害方得到一定的经济补偿，弥补损失。
   • 和解协议的效力与履行：和解协议本质上是双方自愿达成的民事合同，对双方具有法律约束力。如果一方不履行和解协议，另一方可以依据协议向人民法院提起民事诉讼，要求对方承担违约责任，继续履行协议或赔偿损失。
2. 若行政处罚尚未执行或正在执行过程中
   • 和解对行政处罚的影响：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》等相关法律法规，行政处罚决定一旦作出，具有确定力和执行力，原则上不能因双方和解而随意变更或撤销。但是，如果加害方积极与受害方达成和解，并取得受害方的谅解，加害方可以向作出行政处罚决定的机关提出从轻、减轻处罚或不予处罚的申请。
   • 申请从轻、减轻或不予处罚的条件与程序：加害方需要向行政机关提交书面申请，说明与受害方和解的情况，并提供和解协议等相关证据材料。行政机关会根据具体情况进行审查，综合考虑加害方的悔过表现、和解情况、危害后果等因素，决定是否从轻、减轻或不予处罚。例如，如果加害方是初次实施校园霸凌行为，情节较轻，且积极与受害方和解，赔偿了受害方的损失，取得了受害方的谅解，行政机关可能会酌情从轻或减轻处罚；如果情节显著轻微，危害不大，甚至可能会不予处罚。
   • 和解后的监督与执行：即使行政机关同意从轻、减轻或不予处罚，加害方也应按照和解协议的约定履行相应义务。同时，行政机关会对加害方的行为进行监督，确保其不再实施类似违法行为。如果加害方不履行和解协议或再次实施违法行为，行政机关将依法恢复执行原行政处罚或给予更严厉的处罚。

在处理校园霸凌行政处罚后双方和解的问题时，建议双方保持理性、诚恳的态度，积极沟通协商。如有需要，可以寻求学校、社区等相关部门的帮助和见证，确保和解过程合法、公正、有效。若在和解过程中遇到法律问题，可直接向我咨询。