作为监护人，确实在特定情况下有义务承担被监护人的医药费，这一义务主要基于法律对监护人职责的规定以及保护未成年人权益的原则。以下我将结合具体法律条文和案例，为您详细解释这一义务。

首先，从法律层面来看，《中华人民共和国民法典》明确规定了父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一义务是全面的，不仅涵盖了子女的生活费、教育费，还包括了医疗费等必要费用。这意味着，无论父母是否离婚，或者子女由哪一方直接抚养，父母双方都有义务为子女提供必要的医疗支持。

以您提供的第一个案例为例，古某与伊某离婚后，虽然协议约定由古某抚养孩子迪某，伊某按月支付抚养费，但当迪某患病住院产生巨额医疗费时，伊某作为父亲，仍然有义务与古某共同分担这笔费用。这是因为，抚养费虽然包括了一定的医疗费用，但在孩子遇到重大疾病或意外时，父母双方应共同承担超出固定抚养费的其他合理费用，以保障孩子的健康权益。

再来看第二个案例，虽然它主要讨论的是托管中心的责任问题，但也间接涉及了监护人的义务。在这个案例中，小明在托管中心受伤，虽然主要责任在于托管中心和小勇（及其监护人），但这也提醒我们，家长作为未成年人的监护人，有管理和教育未成年人的责任，引导其增强安全防范意识。如果监护人未尽到监护职责，导致未成年人受到伤害，监护人也可能需要承担一定的责任。当然，这并不意味着监护人需要承担所有医疗费用，而是要根据具体情况和过错程度来分担。

综上所述，作为监护人，您有义务在必要时为被监护人提供医疗支持，包括承担医药费。这一义务是法律规定的，也是保护未成年人权益的重要体现。如果遇到具体问题或纠纷，建议您咨询专业律师或相关机构，以获取更详细和准确的法律建议。