结论：仅凭半年前的购买记录且物品已丢弃，警方不一定会抓人，是否抓人取决于多种因素，包括购买行为的性质、数量、用途以及是否涉及其他违法犯罪活动等。
分析说明：
购买行为的性质：
- 如果购买rush（通常指一种助性药物，可能含有违禁成分）的行为本身不构成犯罪，或者虽然违法但情节显著轻微，那么警方可能不会仅凭购买记录就采取抓捕行动。
- 如果购买行为涉及非法买卖、运输、携带、邮寄毒品或易制毒化学品等严重违法行为，且数量达到一定标准，那么警方可能会根据相关法律法规进行立案侦查，并采取相应的强制措施。
购买数量与用途：
- 购买数量较少，且用于个人使用，未造成社会危害的，警方可能不会视为严重违法行为。
- 如果购买数量较大，或者用于非法交易、传播等目的，那么警方可能会认为存在犯罪嫌疑，并展开调查。
是否涉及其他违法犯罪活动：
- 如果购买行为与其他违法犯罪活动（如组织卖淫、强迫卖淫等）有关联，那么警方可能会根据整体案情进行综合判断，并采取相应的法律措施。
- 如果购买行为独立存在，且未涉及其他违法犯罪活动，那么警方在处理时可能会更加谨慎。
证据的充分性与关联性：
- 警方在决定是否抓捕时，会考虑证据的充分性和关联性。仅凭购买记录可能不足以证明犯罪事实的存在，还需要其他证据（如交易记录、证人证言、物证等）来支持。
- 如果购买记录与其他证据相互印证，形成了完整的证据链，那么警方可能会认为存在犯罪嫌疑，并采取抓捕行动。
后续行动建议：
- 保持冷静与配合：如果警方联系您询问相关情况，请保持冷静，如实陈述事实，并配合警方的调查工作。
- 咨询专业律师：如果您对购买行为是否违法、可能面临的法律后果等存在疑问，建议及时咨询专业律师，以便获得更具体的法律建议。
- 保留相关证据：如果您认为自己的购买行为可能涉及法律问题，建议保留好相关证据（如购买记录、交易凭证等），以便在需要时提供给警方或律师。
特殊场景提醒：
- 如果您购买的rush确实含有违禁成分，且数量较大或用途非法，那么您可能面临法律责任。在这种情况下，建议您尽快咨询专业律师，了解自己的法律权利和义务，并积极配合警方的调查工作。
法律法规参考：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，非法买卖、运输、携带、邮寄毒品或易制毒化学品的，将受到法律的制裁。具体处罚措施取决于犯罪情节的严重程度。
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