结论：若不想开除该员工，可从协商处理、依据规章制度选择非开除处分、收集员工积极表现证据辅助处理这三个方向着手，同时要注意处理过程需合法合规。以下为详细说明：
- 协商处理
- 沟通了解情况：首先与涉事员工进行深入沟通，了解打架事件的具体起因、经过。如果是因为一些偶然的、非原则性的矛盾引发的冲突，比如工作分配问题、言语误会等，且员工认错态度诚恳，愿意承担相应责任，那么可以基于这些情况考虑从轻处理。
- 组织调解：可以组织涉事员工与对方员工进行调解，让双方达成和解协议。在调解过程中，强调工厂的规章制度和团队合作的重要性，引导员工认识到打架行为的错误性和不良影响。如果双方能够达成和解，并且员工承诺以后遵守工厂规定，不再发生类似事件，那么可以考虑不开除该员工。
- 依据规章制度选择非开除处分
- 审查规章制度：仔细审查工厂的规章制度，查看对于打架行为除了开除之外，是否还有其他相应的处分措施，如警告、记过、降薪、降职等。如果规章制度中有明确规定可以根据情节轻重给予不同等级的处分，并且该员工的打架行为尚未达到开除的严重程度，那么可以依据规章制度给予相应的非开除处分。
- 情节评估：对打架事件的情节进行全面评估，包括打架的激烈程度、是否造成人员受伤及受伤程度、是否对工厂的生产秩序和财产造成损害等。如果打架情节较轻，没有造成严重后果，那么给予警告、记过等处分是比较合适的，既能起到警示作用，又能给员工一个改正的机会。
- 收集员工积极表现证据辅助处理
- 日常工作表现：收集该员工在日常工作中的积极表现证据，如工作业绩、工作态度、团队合作等方面的优秀表现。可以向员工的上级领导、同事了解情况，获取相关的评价和反馈。这些证据可以证明该员工对工厂是有价值的，平时表现良好，此次打架行为可能是一时冲动或偶然事件。
- 过往贡献：了解该员工在工厂的工作年限和过往贡献，如果员工在工厂工作多年，为工厂的发展做出了一定的贡献，那么在处理打架事件时也可以适当考虑这些因素，给予从轻处理。例如，可以给予员工一个改过自新的机会，让其通过实际行动来弥补自己的过错。
注意事项：在处理员工打架事件时，要确保整个过程合法合规，遵循工厂的规章制度和劳动法律法规。处理结果要及时告知员工，并做好相关的记录和存档工作，以备后续查询和参考。如果对处理过程或结果存在疑问，可以直接向我咨询。