根据我国现行法律规定，父亲有两次刑事犯罪记录的，其子女一般不能担任村支书。具体分析如下：

1. 法律明确限制情形
   根据《中华人民共和国村民委员会组织法》第十三条，村民委员会成员候选人需满足“遵纪守法”的基本条件。若父亲因故意犯罪被判处刑罚且刑罚执行完毕未满五年，或因犯罪被剥夺政治权利，其子女作为直系亲属，在村支书选举中可能因“政治审查不通过”被排除。即使父亲刑罚已执行完毕超过五年，若犯罪性质恶劣（如危害国家安全、涉黑涉恶等），仍可能影响子女参选资格。

2. 地方性法规的补充限制
   部分省份在《村民委员会选举办法》中进一步明确：候选人及其直系亲属存在“正在服刑”“被判处刑罚未执行完毕”“因犯罪被剥夺政治权利”等情形的，不得参选。例如，《广东省村民委员会选举办法》第十三条即规定此类限制。因此需结合当地具体规定判断。

3. 例外情形说明
   若父亲犯罪情节轻微（如拘役、管制等非监禁刑），或刑罚执行完毕已超过五年且无其他违法记录，子女参选村支书原则上不受直接限制。但实践中，选举委员会可能综合考量家庭背景对候选人公信力的影响，最终决定权在村民会议或村民代表会议。

建议：若您或家人计划参选村支书，可先向当地乡镇政府或民政部门咨询具体资格要求，并主动说明家庭情况。如遇选举争议，可依法申请行政复议或提起行政诉讼维护权益。如有进一步疑问，欢迎随时向我咨询。