在老人因生病住院的情况下，为了遗产继承的顺利进行，建议留存以下几类证据：
身份关系证明：
- 身份证、户口本等，这些文件能够证明老人与潜在继承人之间的身份关系，是遗产继承的基础。例如，通过户口本可以确认子女与父母的关系，这是继承权的重要依据。
遗嘱（如有）：
- 如果老人在住院期间或之前已经立有遗嘱，那么这份遗嘱将是遗产分配的关键证据。遗嘱应当符合法律规定的形式要件，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名，并注明年、月、日；代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，并由遗嘱人、代书人和其他见证人签名，注明年、月、日等。确保遗嘱的真实性和合法性至关重要。
医疗记录与诊断证明：
- 老人在住院期间的医疗记录、诊断证明等文件，可以证明老人的健康状况和住院事实。这些证据在遗产继承中可能用于证明老人是否具备完全民事行为能力，以及是否在立遗嘱时受到疾病影响等。例如，如果老人因疾病导致意识不清，那么其在此期间所立的遗嘱可能被视为无效。
财产证明：
- 房产证、银行存折、股票账户等财产证明文件，能够明确老人的财产状况和遗产范围。这些证据是遗产继承中不可或缺的一部分，因为它们直接关系到继承人的继承权益。例如，通过房产证可以确认老人名下的房产，这是遗产分配的重要对象。
见证人证言：
- 如果老人在住院期间有亲友或医护人员在场见证其立遗嘱或表达遗产分配意愿，那么这些见证人的证言也将成为重要证据。见证人应当能够客观、真实地陈述所见所闻，以支持遗产继承的合法性。例如，如果老人在病床上向子女口头表达了遗产分配意愿，并有医护人员在场见证，那么医护人员的证言将有助于确认这一意愿的真实性。
在留存证据时，还需要注意以下几点：
- 证据的客观性：确保所留存的证据是真实、客观的，没有经过篡改或伪造。
- 证据的完整性：尽量留存完整的证据链，以便在需要时能够全面、准确地证明相关事实。
- 证据的合法性：确保所留存的证据符合法律规定的形式和程序要求，以免因证据不合法而导致继承权益受损。
如果遗产继承过程中出现纠纷或争议，建议及时咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的法律策略，维护自己的合法权益。如果你有任何关于遗产继承或其他婚姻家庭法律方面的问题，都可以直接向我咨询。