若您在公共医院受伤导致右手中指断一截，可先通过医疗事故鉴定明确责任，若医院存在过错，可依法要求其承担医疗费、误工费、残疾赔偿金等合理赔偿。以下从多个角度为您详细分析：

一、责任认定角度

1. 医疗事故鉴定：这是确定医院是否需承担赔偿责任的关键步骤。您需要向当地医学会或司法鉴定机构申请医疗事故技术鉴定，由专业鉴定人员对医院的诊疗行为是否存在过错、过错与您手指受伤之间是否存在因果关系以及过错参与度等进行评估。如果鉴定结果认定医院存在过错，且该过错与您手指受伤有直接因果关系，那么医院就需要承担相应的赔偿责任。
2. 举证责任：在医疗纠纷中，实行“谁主张，谁举证”的原则，但根据《民法典》及相关司法解释，患者因医疗行为受到损害，有证据证明医疗机构有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。不过，在实践操作中，患者仍需提供初步证据证明自己在医院受伤以及受伤与医院诊疗行为可能存在关联，如病历资料、现场照片、证人证言等。

二、赔偿项目角度

1. 医疗费：包括您因手指受伤而产生的挂号费、检查费、治疗费、药费、住院费等实际支出费用。您需要保留好相关的票据和病历资料，以便在索赔时作为证据。
2. 误工费：如果您因手指受伤而无法正常工作，导致收入减少，可以要求医院赔偿误工费。误工费的计算标准根据您的误工时间和收入状况确定。误工时间根据您接受治疗的医疗机构出具的证明确定；收入状况方面，如果您有固定收入，按照实际减少的收入计算；如果没有固定收入，可以参照受诉法院所在地相同或者相近行业上一年度职工的平均工资计算。
3. 护理费：如果您在手指受伤治疗期间需要专人护理，可以要求医院赔偿护理费。护理费的计算标准根据护理人员的收入状况和护理人数、护理期限确定。护理人员有收入的，参照误工费的规定计算；护理人员没有收入或者雇佣护工的，参照当地护工从事同等级别护理的劳务报酬标准计算。
4. 交通费：您因就医或者转院治疗实际发生的合理的交通费用，也可以要求医院赔偿。交通费应当以正式票据为凭，有关凭据应当与就医地点、时间、人数、次数相符合。
5. 住院伙食补助费：如果您因手指受伤需要住院治疗，可以要求医院按照当地国家机关一般工作人员的出差伙食补助标准赔偿住院伙食补助费。
6. 残疾赔偿金：如果您的手指受伤经鉴定构成残疾，还可以要求医院赔偿残疾赔偿金。残疾赔偿金的计算标准根据您的伤残等级、年龄、户籍性质等因素确定。

三、维权途径角度

1. 协商和解：在确定医院存在过错后，您可以先与医院进行协商，尝试通过友好协商的方式解决赔偿问题。在协商过程中，您可以明确提出自己的赔偿要求和依据，与医院进行充分的沟通和交流，争取达成一个双方都能接受的赔偿协议。
2. 申请调解：如果协商不成，您可以向当地的医疗纠纷人民调解委员会申请调解。医疗纠纷人民调解委员会是由政府设立的专门处理医疗纠纷的第三方调解机构，具有中立性和专业性。在调解过程中，调解员会听取双方的陈述和意见，进行调查核实，并根据相关法律法规和政策提出调解方案，促使双方达成调解协议。
3. 提起诉讼：如果调解不成或者您对调解结果不满意，您可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。在诉讼过程中，您需要向法院提交起诉状和相关证据材料，法院会依法审理案件，并根据事实和法律作出判决。

在处理此类医疗纠纷时，建议您保持冷静，及时收集和保存相关证据，如病历资料、现场照片、证人证言等，以便在后续的维权过程中能够充分证明自己的主张。如果您在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询。