行政复议答复不履行，申请人可以采取以下法律措施来维护自己的合法权益：

1. 向上级行政机关或监察机关反映

   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》等相关法律法规，被申请人（即行政复议中的被申请行政机关）应当履行行政复议决定。若其不履行或无正当理由拖延履行，申请人有权向该行政机关的上级行政机关或有关监察机关反映情况。
   • 具体措施：申请人可以撰写书面反映材料，详细陈述被申请人不履行行政复议决定的事实、理由及依据，并附上相关证据材料，如行政复议决定书、催促履行函等，提交给上级行政机关或监察机关。这些机关有权责令被申请人限期履行行政复议决定。

2. 申请法院强制执行

   • 适用情形：当被申请人不履行或拖延履行行政复议决定时，申请人有权依法向人民法院申请强制执行。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》及《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，申请人可以在法定期限内，向有管辖权的人民法院提交申请书及行政复议决定书等材料，申请强制执行。
   • 所需材料：申请强制执行时，申请人需准备行政复议决定书、证明被申请人未履行义务的证据材料（如催促履行函、送达回证等）以及申请执行书等。

3. 提起行政诉讼

   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十五条的规定，公民、法人或者其他组织不服复议决定的，可以在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。若复议机关逾期不作决定，申请人也可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
   • 诉讼目的：通过提起行政诉讼，申请人可以要求法院对复议决定进行审查，并依法作出判决，从而确保行政复议决定的执行或获得相应的法律救济。若法院判决复议机关履行法定职责而复议机关仍不履行，申请人还可以进一步申请法院强制执行。

4. 追究法律责任

   • 适用情形：如果行政复议机关工作人员在行政复议过程中存在违法行为，如故意拖延、拒不履行复议决定等，导致复议决定无法执行，申请人可以依法向有关部门检举、控告。
   • 法律责任：相关部门将依法对违法人员进行调查处理，追究其法律责任，以维护行政复议制度的公正性和权威性。

在处理行政复议答复不履行的问题时，申请人还需注意以下几点：

• 保留证据：在整个过程中，申请人应妥善保管好所有与行政复议相关的证据材料，如申请书、受理通知书、复议决定书、催促履行函等，以备后续可能的法律程序之需。
• 及时行动：一旦发现被申请人不履行行政复议决定，申请人应及时采取上述措施，避免错过法定的申请期限或诉讼时效。
• 寻求专业帮助：由于行政复议和行政诉讼涉及复杂的法律程序和专业知识，申请人在处理过程中可能会遇到诸多困难。因此，建议申请人及时向我咨询，以便更好地维护自己的合法权益。

示例说明： 假设申请人因某行政机关的具体行政行为侵犯了其合法权益而申请了行政复议，并获得了复议决定支持其诉求。然而，该行政机关在收到复议决定后却拒不履行。此时，申请人可以按照上述步骤，先向上级行政机关或监察机关反映情况，若未得到妥善解决，再向人民法院申请强制执行或提起行政诉讼。在整个过程中，申请人应保留好所有相关证据材料，并及时咨询专业律师以获取法律帮助。