当缓刑执行完毕后发现新犯罪时，法律的处理方式是一个严谨且有序的过程，主要依据《中华人民共和国刑法》及其相关司法解释。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据与原则
虽然《中华人民共和国刑法》第七十七条主要规定了缓刑考验期限内犯新罪或发现漏罪的处理方式，即撤销缓刑，对新犯的罪或新发现的罪作出判决，并依照数罪并罚的原则决定执行的刑罚。但缓刑执行完毕后的处理原则，虽未直接规定撤销缓刑，却强调了新罪的独立追诉与处罚。这意味着，即使缓刑已经执行完毕，一旦发现新罪，犯罪分子仍需为新罪承担法律责任。
二、处理流程
立案侦查：
- 公安机关或检察机关在发现新罪线索后，会依法进行立案侦查，收集证据，以查明犯罪事实。这是处理新罪的第一步，也是确保后续程序顺利进行的基础。
提起公诉：
- 侦查终结后，若检察机关认为证据确实、充分，足以认定犯罪嫌疑人构成犯罪，便会向人民法院提起公诉。这一步骤标志着案件正式进入司法审判阶段。
审判定罪：
- 人民法院受理案件后，将依法进行审理。在审理过程中，法院会综合考虑新罪的事实、性质、情节以及社会危害程度等因素，作出有罪或无罪的判决。这是确定犯罪分子是否应承担刑事责任的关键环节。
数罪并罚（如适用）：
- 若新罪成立，且需要与前罪（即原缓刑所判之罪）进行数罪并罚，人民法院将根据《中华人民共和国刑法》第六十九条的规定进行。但需注意，由于缓刑已执行完毕，此处的数罪并罚并非简单地将前罪缓刑期间的刑罚与新罪刑罚相加。而是基于新罪本身的量刑情况，结合前罪的性质、情节等因素进行综合考量。然而，在实践操作中，由于前罪刑罚已实际通过缓刑执行完毕，因此通常主要对新罪进行定罪量刑。
执行刑罚：
- 判决生效后，罪犯需按照判决确定的刑期和刑种服刑。若新罪被判处有期徒刑等实刑，罪犯将被送往监狱或其他执行场所执行刑罚。这是犯罪分子为其犯罪行为承担法律责任的最终环节。
三、特别说明
- 缓刑执行完毕与缓刑考验期限内的区别：缓刑执行完毕意味着犯罪分子在缓刑期间没有违反相关规定，且缓刑考验期已满，原判刑罚不再执行。而缓刑考验期限内犯新罪或发现漏罪，则需撤销缓刑，对新罪或漏罪进行判决，并可能进行数罪并罚。
- 新罪的独立追诉：即使缓刑已执行完毕，一旦发现新罪，犯罪分子仍需为新罪承担法律责任。这是法律对犯罪行为的零容忍态度，也是维护社会公平正义的必要措施。
综上所述，缓刑执行完毕后发现新犯罪时，法律将依法进行立案侦查、提起公诉、审判定罪、数罪并罚（如适用）和执行刑罚等流程。犯罪分子需为其新罪行为承担相应的法律责任。