结论：在您描述的两人互殴且对方先动手、对方轻伤二级的情形下，若要申请监外执行，需要先明确监外执行的适用条件，再结合自身情况判断是否符合并准备相应材料申请，不过整体而言这种情况申请监外执行难度较大。以下为你详细分析：
监外执行的适用条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条规定，对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：
- 有严重疾病需要保外就医的：如果犯罪嫌疑人自身患有严重疾病，比如严重的心血管疾病、癌症等，不羁押可能危及生命健康，且需要到监狱外进行治疗的，可以申请监外执行。但需要提供省级人民政府指定的医院诊断并开具的证明文件。例如，犯罪嫌疑人患有严重的心脏病，随时有生命危险，经指定医院诊断后，可据此申请。
- 怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女：如果犯罪嫌疑人是女性，且处于怀孕期间或者正在哺乳自己未满一周岁的婴儿，出于人道主义考虑，可以申请监外执行。比如，女性犯罪嫌疑人在案发时已经怀孕，或者在羁押期间分娩，正在哺乳婴儿，就可以提出申请。
- 生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的：如果犯罪嫌疑人因年老体弱、残疾等原因生活不能自理，如瘫痪在床、双目失明等，且将其暂予监外执行不会对社会造成危害的，也可以申请。例如，犯罪嫌疑人因意外事故导致高位截瘫，生活完全不能自理，经评估不会对社会产生危害，就可以尝试申请。
结合您的情况分析
在您描述的互殴案件中，对方轻伤二级，您可能面临的是故意伤害罪的指控。一般情况下，若您不符合上述监外执行的适用条件，是很难申请到监外执行的。即使对方先动手，这只能作为您在量刑时可能考虑的从轻或减轻情节，但不能直接作为申请监外执行的依据。
申请流程（若符合条件）
- 提出申请：由罪犯本人或者其亲属、监护人向执行机关（一般是看守所或者监狱）提出书面申请，并提交相关的证明材料，如医院诊断证明、婴儿出生证明等。
- 审查核实：执行机关收到申请后，会对申请人的情况进行审查核实，包括对证明材料的真实性、合法性进行审查，必要时还会进行调查取证。
- 决定批准：经审查认为符合监外执行条件的，执行机关会提出书面意见，报省、自治区、直辖市监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关批准。批准机关会在收到书面意见之日起十五日内作出决定，并将决定书送达执行机关和申请人。
如果您在申请监外执行方面还有其他疑问，或者涉及其他法律问题，都可以直接向我咨询。