呈请立案的法律依据主要涉及《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，但具体适用需结合案件类型和程序阶段综合判断。以下从不同角度展开说明：

1. 普通刑事案件立案依据
   根据《刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关、检察院或法院对报案、控告、举报或犯罪嫌疑人自首的材料，应当按管辖范围迅速审查，认为有犯罪事实需追究刑责时，应立案；认为无犯罪事实或事实显著轻微不需追究刑责时，不予立案并通知控告人。这是呈请立案的核心条款。

2. 监察机关移送案件的立案依据
   若案件由监察机关调查后移送检察院审查起诉（《监察法》第三十四条），检察院需依据《刑事诉讼法》第一百六十九条对移送材料进行审查，符合起诉条件的直接提起公诉，此时立案程序可能被审查起诉程序吸收，但实质仍需遵循刑事诉讼基本原则。

3. 特殊程序案件的立案依据

   • 自诉案件：被害人直接向法院起诉的（《刑事诉讼法》第二百一十条），法院需审查是否符合自诉条件（如告诉才处理、轻微刑事案件等），此阶段立案依据更侧重程序要件而非实体犯罪审查。
     
   • 刑事附带民事诉讼：若案件涉及财产损失或人身损害赔偿，立案时需同步审查民事部分是否符合《刑事诉讼法》第一百零一条规定的“物质损失”范围。

4. 立案监督与救济
   若控告人对不予立案决定不服（《刑事诉讼法》第一百一十三条），可申请复议（向原机关）或向检察院申诉，检察院认为不予立案错误的，应要求公安机关说明理由或通知立案。这一程序反向印证了第一百一十二条作为立案核心依据的地位。

总结：呈请立案的直接依据多为《刑事诉讼法》第一百一十二条，但需结合案件来源（监察移送、自诉等）、程序阶段（审查起诉、附带民事诉讼等）及救济程序综合适用。若您有具体案件类型或程序阶段需要进一步分析，可直接向我说明细节。