针对拖欠农民工工资的问题，最快且有效的解决部门是当地的劳动保障监察部门。以下是从多个角度为你详细分析的解决方案：
一、劳动保障监察部门：首选解决途径
优势与效率：
- 劳动保障监察部门是专门负责监督检查用人单位遵守劳动保障法律法规的机构，具有高效、直接的特点。
- 他们有权对用人单位进行调查，对于查证属实的拖欠工资行为，可以依法责令用人单位限期支付，并有权进行行政处罚。
处理流程：
- 农民工需携带身份证件、劳动关系证据（如劳动合同、工作证、工资条等）及拖欠工资的相关证据，到当地劳动保障监察机构进行投诉登记。
- 监察部门将在受理后迅速展开调查，并将处理结果及时反馈给投诉人。
法律依据：
- 《劳动保障监察条例》明确规定，劳动保障行政部门对用人单位支付劳动者工资的情况实施监察。
二、其他可选途径：根据具体情况选择
劳动争议调解中心：
- 优势：以调解为主要手段，致力于促成双方和解，避免矛盾激化，有利于维护和谐的劳动关系。
- 处理流程：农民工向调解中心提出调解申请，中心将安排专业调解员与双方沟通，了解具体情况并组织调解。若双方达成一致，将签订调解协议，用人单位按协议支付工资。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》为调解提供了法律基础。
建设领域清欠办公室（针对建筑行业）：
- 特别针对：由于建筑行业拖欠工资问题较为突出，建设领域清欠办公室专门负责解决该领域的工资拖欠问题。
- 处理流程：农民工可向当地清欠办反映情况，提供工程项目名称、施工单位等信息。清欠办将对项目进行深入调查，并协调相关方快速解决工资拖欠问题。
- 法律依据：国务院办公厅《关于全面治理拖欠农民工工资问题的意见》强调了加强建设领域农民工工资支付管理的重要性。
法律援助机构：
- 适用情况：当农民工需要通过法律途径解决工资拖欠问题但经济困难无力聘请律师时，法律援助机构可提供免费律师服务。
- 处理流程：农民工向当地法律援助机构提出申请，提交相关证明材料（如经济困难证明等）。经审核符合条件的，法律援助机构将指派专业律师为其提供法律服务，包括代理仲裁、诉讼等。
- 法律依据：《中华人民共和国法律援助法》为农民工提供了法律保障，特别是关于劳动报酬和工伤事故人身损害赔偿的法律援助不受经济困难条件的限制。
报警与工会协助：
- 报警：在极端情况下，如雇主恶意拖欠工资或逃逸，农民工可选择报警。虽然这不是处理劳动纠纷的常规方式，但在某些紧急情况下可能有效。
- 工会协助：如果农民工加入了工会，可以寻求工会的帮助。工会有责任代表会员争取权益，包括追讨工资。
三、重要提示
- 在采取任何行动之前，农民工应尽可能收集所有相关证据，包括工作合同、工时记录、工资条以及与雇主的沟通记录等。这些证据将有助于相关部门更快地了解问题，并作出有利于农民工的裁决。
- 农民工在遭遇工资拖欠问题时，应根据自身情况和实际需要选择合适的途径来维护自己的合法权益。同时，也要积极寻求法律援助和工会等组织的帮助，以确保自己的权益得到有效保障。
综上所述，劳动保障监察部门是解决拖欠农民工工资问题的最快且有效的途径。但根据具体情况，农民工也可以选择其他途径来维护自己的合法权益。如果你有任何进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。