当原告在诉讼过程中当庭提出撤诉申请时，法院会依法进行一系列的处理流程。以下是对这一问题的详细解答：
一、撤诉申请的审查
形式审查：
- 法院首先会确认撤诉申请是否由原告本人或其特别授权的代理人提出，并检查申请是否采用了书面形式，以确保申请的合法性和有效性。
实质审查：
- 自愿性：法院会审查撤诉是否出于原告的真实意愿，确认是否存在被胁迫、欺诈等外在因素干扰。
- 合法性：检查撤诉申请是否违反法律禁止性规定，是否损害国家、集体或他人的合法权益。
- 合理性：评估撤诉是否有利于纠纷的解决，以及是否会造成司法资源的浪费。
二、裁定是否准许撤诉
准许撤诉：
- 如果撤诉申请符合法律规定，且不存在损害国家利益、社会公共利益或他人合法权益的情形，法院会裁定准许撤诉。
- 裁定一旦作出，诉讼程序即告终结，法院会制作裁定书并送达双方当事人。
- 原告在撤诉后，通常不得就同一事实和理由再次起诉，除非有新证据或新事实出现。
不准许撤诉：
- 如果撤诉申请存在违法情形，或者可能损害国家利益、社会公共利益或他人合法权益，法院将裁定不准许撤诉。
- 在不准许撤诉的情况下，案件将继续审理，原告必须继续参加诉讼。
- 若原告经传票传唤无正当理由拒不到庭，法院可依法缺席判决。
部分撤诉的处理：
- 如果原告只对部分诉讼请求提出撤诉，且该请求与其他诉讼请求可以独立分开审理，且不影响其他请求的审理结果，法院可以就部分请求作出准予撤诉的裁定。
三、撤诉后的相关事项处理
通知当事人：
- 无论撤诉与否，法院都会及时将裁定结果通知双方当事人，确保当事人了解案件处理情况。
退还诉讼费用：
- 若准予撤诉，根据《诉讼费用交纳办法》，法院会按一定比例退还原告已预交的诉讼费用。具体比例会根据案件情况而定，通常原告需要承担一部分诉讼费用。
卷宗归档：
- 撤诉案件的相关材料会被整理和归档，包括起诉状、答辩状、证据材料、审理笔录及裁定书等，以备日后查阅和管理。
撤诉记录留存：
- 撤诉后的案件记录仍会留存于法院系统中，用于后续可能的查询和参考，以维护司法公正性和权威性。
四、被告权益保障
- 原告撤诉并不意味着被告权益得到完全保障。若被告在诉讼过程中产生了相关费用支出（如律师费、差旅费等），可根据具体情况向原告主张相应赔偿。
综上所述，当原告当庭提出撤诉申请时，法院会依法进行审查，并根据审查结果作出准予撤诉或不准予撤诉的裁定。撤诉一旦获准，诉讼程序终结，但撤诉记录会留存。无论撤诉与否，法院都会确保诉讼活动的公正、公平和合法，同时保障双方当事人的合法权益。