结论前置：双方私下签协议书并按手印，在符合法律规定的条件下是受法律保护的。但具体是否有效，还需根据协议内容、签订过程及双方民事行为能力等因素综合判断。

详细分析：

1. 协议内容的合法性：

   • 双方私下签订的协议，其内容必须符合法律法规的强制性规定，不能违反公序良俗或侵害他人合法权益。否则，即使双方签字按手印，协议也是无效的。

2. 双方民事行为能力：

   • 签订协议的双方必须具备相应的民事行为能力。一般来说，这指的是年满18周岁且精神正常的自然人，或者是依法成立的法人或其他组织。若一方为无民事行为能力人或限制民事行为能力人（如未成年人、精神病人等），则其所签订的协议可能无效或效力待定。

3. 意思表示的真实性：

   • 双方签订协议时必须是出于真实意思表示，即完全自愿、没有受到任何不当干扰或胁迫。如果协议是在一方受欺诈、胁迫等情况下签订的，那么该协议可能会被认定为无效或可撤销。

4. 特殊类型的协议：

   • 对于某些特殊类型的协议，如涉及不动产的转让协议，可能还需要经过特定的审批或登记程序才具有法律效力。若缺少这些环节，协议的效力可能存在瑕疵。

5. 按手印的法律意义：

   • 按手印在协议签订中起到了确认身份和增强证明力的作用。它如同一个有力的印记，表明了双方对协议内容的认可和愿意承担相应法律责任的意愿。然而，按手印本身并不能决定协议的法律效力，而是作为协议真实性和双方意愿的一种辅助证明。

综上所述：双方私下签协议书并按手印，在内容合法、双方具备民事行为能力、意思表示真实且符合相关程序要求的情况下，是受法律保护的。但如存在违反法律法规、无民事行为能力人签约、虚假意思表示或特殊类型协议未履行特定程序等情形，则协议可能无效或效力待定。因此，在签订协议前，建议双方务必仔细审查协议内容，确保符合法律规定，并咨询专业律师以获取更准确的法律意见。