结论前置：赌博行为在受到罚款后，是否还会被追究刑事责任，主要取决于赌博行为的具体情节和性质是否符合刑事犯罪的构成要件。行政处罚与刑事处罚是两种不同的法律责任形式，它们可以并存，且互不影响。

详细分析：

1. 行政处罚与刑事处罚的区别：

   • 行政处罚：主要依据《中华人民共和国治安管理处罚法》，针对的是违反治安管理但尚未构成犯罪的行为。对于参与赌博赌资较大的个人，可处五日以下拘留或五百元以下罚款；情节严重的，可处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上三千元以下罚款。
   • 刑事处罚：依据《中华人民共和国刑法》，针对的是构成犯罪的行为。以营利为目的，聚众赌博或以赌博为业的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；开设赌场的，处罚更为严厉。

2. 行政处罚后可能转为刑事追究的情形：

   • 情节升级：如果在行政处罚后，司法机关发现该赌博行为的情节、性质比最初认定的更为严重，达到了刑事立案标准（如实际是以赌博为业、聚众赌博的组织者或开设赌场的经营者等），即使已经进行了行政处罚，也会启动刑事追究程序。
   • 新证据出现：如果之前仅因轻微赌博行为受到行政处罚，但之后发现了新的、更严重的赌博犯罪行为证据，同样可以进行刑事追究。

3. “一事不再罚”原则的适用：

   • “一事不再罚”原则主要指对同一违法行为不得给予两次以上罚款的行政处罚。然而，这一原则并不限制刑事处罚的适用。刑事处罚与行政处罚性质不同，两者可以并存。
   • 如果当事人因同一赌博行为同时受到行政处罚和刑罚，已执行的行政拘留时间可以折抵刑期（如行政拘留10日可折抵拘役10日）；罚款也可以折抵相应的罚金。

4. 实际案例与法律后果：

   • 在实际案例中，有些人可能因赌博行为先受到行政处罚，但随后因情节严重或新证据出现而被追究刑事责任。这强调了赌博行为的严重性和法律后果的不可预测性。
   • 赌博不仅可能导致法律处罚，还会对个人声誉、家庭关系和社会形象造成严重影响。因此，远离赌博是明智之举。

总结与建议：

• 赌博行为是否会从行政处罚转为刑事追究，关键在于行为本身的严重程度是否符合刑事犯罪的构成要件。司法机关会依据证据和法律规定来综合判断。
• 行政处罚与刑事处罚是两种独立的法律责任形式，它们各自有其适用条件和程序，可以并存和共同执行。
• 鉴于赌博行为的严重性和法律后果的不可预测性，我强烈建议远离任何形式的赌博活动。如果已经因赌博行为受到行政处罚，应深刻反思并改正错误，避免进一步陷入法律困境。

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