使用游戏的背景音乐（BGM）制作视频参加有奖金的比赛，确实存在侵犯著作权的法律风险，但具体是否构成侵权需根据实际情况判断。以下从多个角度为你详细分析：
一、著作权法的基本原则
根据《中华人民共和国著作权法》的相关规定，著作权人对其作品享有独占性的权利，包括复制权、发行权、表演权、信息网络传播权等。未经著作权人许可，擅自使用其作品，可能构成对著作权的侵犯。
二、使用游戏BGM的具体情况分析
未经许可的使用：
- 如果你未经游戏BGM的著作权人（通常是游戏开发商或音乐制作人）许可，擅自将其用于视频制作中，并参加有奖金的比赛，这种行为很可能构成对著作权人信息网络传播权、复制权等权利的侵犯。
合理使用的例外：
- 著作权法也规定了合理使用的情形，如为个人学习、研究或欣赏，使用他人已经发表的作品；为介绍、评论某一作品或者说明某一问题，在作品中适当引用他人已经发表的作品等。然而，这些合理使用的情形通常不适用于以营利为目的的活动，如参加有奖金的比赛。
获得许可的情况：
- 如果你已经获得了游戏BGM著作权人的明确许可，或者该BGM属于公有领域（如著作权保护期已满的作品），那么你可以合法地使用该BGM制作视频并参加比赛。
三、可能的法律后果
民事责任：
- 如果构成侵权，你可能需要承担停止侵权、赔偿损失等民事责任。赔偿损失的数额可能根据著作权人的实际损失、侵权人的违法所得或者权利使用费等因素来确定。
行政责任：
- 在某些情况下，著作权行政管理部门也可能对侵权行为进行查处，给予罚款、没收违法所得等行政处罚。
刑事责任：
- 虽然一般情况下，使用游戏BGM制作视频参加比赛不太可能构成刑事犯罪，但如果侵权行为情节严重，如大量复制、传播侵权作品，或者以营利为目的且数额巨大，那么可能触犯刑法中的侵犯著作权罪。
四、建议与措施
寻求许可：
- 在使用游戏BGM制作视频前，最好先与著作权人联系，寻求使用许可。这可以通过与游戏开发商、音乐制作人或相关版权代理机构沟通来实现。
使用合法音乐资源：
- 如果你无法获得游戏BGM的许可，可以考虑使用其他合法来源的音乐资源，如公有领域音乐、开放版权音乐或已获得授权的音乐库。
了解比赛规则：
- 在参加比赛前，仔细阅读比赛规则，了解是否对视频中的音乐使用有特定要求或限制。如果比赛规则明确禁止使用未经授权的音乐，那么务必遵守这一规定。
总结来说，使用游戏的BGM制作视频参加有奖金的比赛存在侵犯著作权的法律风险。为了确保合法合规，建议你在使用前寻求著作权人的许可或使用合法来源的音乐资源。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。