核心结论：因延误治疗导致伤情从轻微伤变为轻伤，在处理上主要涉及责任认定和法律后果两方面，需根据不同责任主体来确定处理方式，以下为你详细阐述。
责任主体为打架的对方时
- 刑事责任方面
- 原本打架造成轻微伤，一般不构成刑事犯罪，通常按照《治安管理处罚法》进行处罚，如处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 但因对方的行为导致延误治疗，最终伤情变为轻伤，此时对方可能涉嫌故意伤害罪。根据《刑法》第二百三十四条规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。你需要及时向公安机关报案，公安机关会进行立案侦查，收集相关证据，如医院的诊断证明、伤情鉴定报告、现场监控视频、证人证言等，以确定对方的犯罪事实。
- 民事赔偿方面
- 对方需要承担因伤害行为给你造成的全部损失，包括医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 你需要收集好相关的费用凭证，如医疗费发票、病历、工资证明、交通费票据等，在诉讼过程中作为证据提交给法院，以支持自己的赔偿请求。你可以先与对方协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向法院提起民事诉讼，要求对方承担赔偿责任。
责任主体为医疗机构时
- 医疗事故责任方面
- 如果是因为医疗机构的过错导致延误治疗，使得伤情从轻微伤变为轻伤，这可能构成医疗事故。你需要先向当地的卫生行政部门提出医疗事故争议处理申请，卫生行政部门会委托医学会进行医疗事故技术鉴定。
- 鉴定结论会明确医疗机构的过错程度以及该过错与伤情变化之间的因果关系。如果鉴定为医疗事故，医疗机构需要承担相应的责任。
- 民事赔偿方面
- 医疗机构需要按照其过错程度承担相应的民事赔偿责任，赔偿范围与上述因对方伤害导致的民事赔偿范围类似，包括医疗费、误工费等各项合理费用。
- 你可以与医疗机构协商赔偿事宜，协商不成的，同样可以向法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，医疗事故技术鉴定结论将作为重要的证据使用。
责任主体为自己时
如果是因为你自身的原因，如拒绝治疗、不配合治疗等导致延误治疗，使得伤情加重，那么你需要自行承担伤情加重带来的不利后果，一般不能要求对方或者医疗机构承担额外的责任。但在这种情况下，原本打架造成轻微伤的责任承担，仍按照上述对方造成轻微伤的情况进行处理。
在整个处理过程中，伤情鉴定是非常关键的环节，它直接影响到责任的认定和法律后果的承担。如果你在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。