仲裁公示期满后，若义务方未履行仲裁裁决，申请执行的核心步骤为：向有管辖权的人民法院提交执行申请，并附上生效仲裁文书及执行申请书等必要材料。具体流程及要点如下：

1. 确认裁决生效性
   首先需确认仲裁裁决已生效。根据《仲裁法》第五十七条，裁决书自作出之日起发生法律效力。若裁决书明确规定了履行期限，则需待履行期届满后，义务方仍未履行的，方可申请执行。若裁决书未规定履行期限，则自裁决书送达之日起，义务方未履行的，即可申请执行。

2. 确定管辖法院
   根据《民事诉讼法》第二百四十四条，对依法设立的仲裁机构的裁决，一方当事人不履行的，对方当事人可以向有管辖权的人民法院申请执行。受申请的人民法院应当执行。具体而言，若仲裁裁决为国内仲裁，则由被执行人住所地或者被执行的财产所在地人民法院执行；若为涉外仲裁，则由被执行人住所地或者被执行的财产所在地的中级人民法院执行。

3. 准备并提交执行申请材料
   申请执行时，需向法院提交以下材料：

   • 执行申请书：应写明申请人与被申请人的基本信息、仲裁裁决的主要内容、申请执行的理由及请求事项等。
     
   • 生效仲裁文书：即仲裁裁决书原件或经核对无误的复印件。
     
   • 身份证明材料：申请人为自然人的，需提交身份证复印件；申请人为法人或其他组织的，需提交营业执照副本复印件、法定代表人身份证明书等。
     
   • 其他材料：如被执行人财产线索、担保材料（如需）等。

4. 法院审查与执行
   法院在收到执行申请后，会进行形式审查，确认材料齐全且符合法定形式后，会立案受理。随后，法院会向被执行人发出执行通知，责令其限期履行义务。若被执行人逾期未履行，法院将采取强制执行措施，如查封、扣押、冻结财产、拍卖变卖财产等，以实现申请人的合法权益。

注意事项：

• 申请执行的期限为二年，从仲裁裁决书规定的履行期间的最后一日起计算；若裁决书规定分期履行的，则从规定的每次履行期间的最后一日起计算；若裁决书未规定履行期间的，则从裁决书生效之日起计算。
  
• 在执行过程中，若被执行人提出证据证明仲裁裁决有法定不予执行的情形（如裁决事项不属于仲裁协议范围、仲裁庭组成或仲裁程序违反法定程序等），法院将裁定不予执行，并告知当事人可以重新达成仲裁协议申请仲裁，也可以向人民法院起诉。

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