公司在开除员工时，必须严格遵循法律规定的条件和程序，以下是一些公司可以开除员工的常见情况：

1. 劳动者存在过错的情况

   • 试用期不符合录用条件：如果员工在试用期间被证明不符合公司事先明确的录用条件，公司有权解除劳动合同。这要求公司在招聘时明确录用条件，并在试用期内对员工进行考核，保留相关证据，如招聘广告、面试记录、试用期考核标准及结果等。

   • 严重违反规章制度：员工严重违反公司合法、合理且经过公示的规章制度时，公司可以解除劳动合同。这要求公司的规章制度必须合法、合理，且已经向员工公示或告知，同时公司需提供员工知晓规章制度的证据及违纪事实证明，如签字确认的规章制度手册、考勤记录等。

   • 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可以解除劳动合同。这要求公司明确“重大损害”的标准，并提供损失的相关证据，如财务报表、客户流失证明等。

   • 兼职影响工作：员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正时，公司可以解除劳动合同。这要求公司提供员工兼职及对本公司工作影响的证据。

   • 劳动合同无效：如员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可以认定合同无效并解除劳动关系。这要求公司提供员工欺诈行为的证据，如虚假证书的鉴定报告等。

   • 被追究刑事责任：员工被依法追究刑事责任时，公司可以解除劳动合同。这要求公司提供法院的生效判决等相关法律文书作为依据。

2. 非因劳动者过错的情况

   • 患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作时，公司可以解除劳动合同。但需提供医疗期证明、员工不能胜任工作的相关证明，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。

   • 不能胜任工作：员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可以解除劳动合同。这要求公司明确“不能胜任工作”的标准，提供绩效考核记录、培训记录等证据，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。

   • 客观情况变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可以解除劳动合同。这要求公司提供客观情况变化的证明及与员工协商的记录，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。

3. 经济性裁员

   • 在公司依照企业破产法规定进行重整或生产经营发生严重困难时，可进行经济性裁员。但需遵循法定程序，如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见，并向劳动行政部门报告等。

开除员工的程序要求：

• 公司在开除员工前必须具备充足的事实依据，并遵循合法程序。这包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。

经济补偿与赔偿：

• 合法开除无需赔偿：若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。

• 违法开除需赔偿：若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

总结与建议：

公司在开除员工时必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。