家属应立即主动要求公安机关安排伤情鉴定，若遭拒可向其上级部门投诉或申请行政复议，同时可自行委托司法鉴定机构进行鉴定并作为证据使用。具体处理方式如下：

1. 主动要求公安机关安排伤情鉴定
   根据《公安机关办理行政案件程序规定》第九十条，伤情鉴定需由办案民警主动提出并委托鉴定机构。若公安机关未启动程序，家属可携带医院诊断证明、病历等材料，直接向办案民警或派出所负责人书面提出鉴定申请，要求书面答复。若公安机关以“伤情轻微无需鉴定”为由拒绝，可要求其出具《不予鉴定通知书》并说明法律依据。

2. 向上级公安机关投诉或申请行政复议
   若公安机关无正当理由拒绝鉴定，家属可向其上级公安机关（如分局、市局）的法制部门投诉，或直接申请行政复议。根据《行政复议法》第十二条，复议申请需在知道该具体行政行为之日起60日内提出，需提交书面申请书、身份证复印件、相关证据材料（如报警回执、医院证明等）。

3. 自行委托司法鉴定机构进行鉴定
   家属可自行联系具有司法鉴定资质的机构（如司法鉴定科学研究院、省级司法鉴定中心）进行伤情鉴定。需注意：

   • 选择具有《司法鉴定许可证》的机构，可通过“国家司法鉴定名录网”查询；
     
   • 鉴定时需携带医院原始病历、影像资料（如CT片、X光片）等；
     
   • 鉴定报告需加盖司法鉴定专用章，并由鉴定人签名；
     
   • 自行鉴定的费用需自行承担，但若后续诉讼中鉴定结论被采信，可要求对方承担。

4. 将鉴定结果作为证据使用
   若自行鉴定结果为轻伤及以上，可据此向公安机关施压要求立案；若公安机关仍不立案，可向检察院申请立案监督。根据《刑事诉讼法》第一百一十三条，检察院认为公安机关不立案理由不成立的，应通知其立案。

关键提醒：

• 伤情鉴定需在伤情稳定后进行（一般受伤后3个月内），但颅脑损伤等特殊情况需6个月后鉴定；
  
• 若鉴定结果为轻微伤，可依据《治安管理处罚法》第四十三条要求公安机关对打人者处以行政拘留及罚款；
  
• 若鉴定结果为轻伤及以上，可依据《刑法》第二百三十四条追究对方故意伤害罪的刑事责任，同时可提起刑事附带民事诉讼要求赔偿医疗费、误工费等损失。

建议行动步骤：

1. 立即收集医院诊断证明、病历、报警回执等材料；
   
2. 书面要求公安机关安排鉴定，并保留书面申请及送达回执；
   
3. 若公安机关未行动，7日内向上级公安机关投诉或申请行政复议；
   
4. 同时联系司法鉴定机构进行自行鉴定，确保证据链完整。
   

如有进一步疑问或需协助处理具体材料，可直接向我咨询。