员工自己报工伤后，公司一般不可以直接申请司法鉴定，但公司可以在特定情况下参与或影响工伤认定的相关流程，且员工和公司都需遵循一定的法律程序。以下是对此问题的详细解答：

一、员工自行申请工伤认定的权利

根据《工伤保险条例》及相关规定，若用人单位未在职工发生事故伤害或被诊断为职业病后的30日内提出工伤认定申请，工伤职工或其近亲属、工会组织有权在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。这一规定确保了工伤员工在遭遇工伤时，能够及时获得应有的权益和救助。

二、工伤认定的申请流程

1. 准备材料：

   • 工伤认定申请表；
   • 与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料，如劳动合同、工资发放记录等；
   • 医疗机构出具的诊断证明书、诊断病历等医疗诊断证明或者职业病诊断证明书、职业病诊断鉴定书。

2. 提交申请：将准备好的材料提交给用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门。

3. 审核与调查：社会保险行政部门对申请材料进行审核，并根据需要进行调查核实。在此过程中，公司可能会被要求提供相关证据或信息。

4. 作出认定决定：社会保险行政部门自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定，并出具《认定工伤决定书》或《不予认定工伤决定书》。对于事实清楚、权利义务明确的申请，可在15日内作出决定。

三、关于司法鉴定

• 司法鉴定与工伤认定的区别：司法鉴定通常是在法律纠纷中，由司法机关或当事人委托法定鉴定单位，运用专业知识和技术，依照法定程序对专门性问题作出鉴别和判断的活动。而工伤认定是社会保险行政部门根据工伤保险法规，对职工因工作遭受事故伤害或患职业病是否属于工伤进行的行政确认。

• 公司申请司法鉴定的可能性：在工伤认定过程中，如果公司对工伤事实或劳动能力鉴定结论有异议，它不能直接申请司法鉴定来推翻工伤认定决定。但公司可以在法律规定的期限内，对工伤认定决定提起行政复议或行政诉讼，通过法律途径来维护自己的权益。在行政复议或行政诉讼过程中，如果涉及专业问题的鉴定，可能会由法院委托相关机构进行司法鉴定。

四、公司的责任与注意事项

• 及时申请工伤认定：用人单位在职工发生事故伤害或被诊断为职业病后的30日内，有责任向统筹地区的社会保险行政部门提出工伤认定申请。若未按时提出，相关费用和责任仍由用人单位承担。

• 配合工伤认定调查：在社会保险行政部门进行工伤认定调查时，公司应积极配合，提供必要的证据和信息。

• 尊重工伤认定决定：一旦社会保险行政部门作出工伤认定决定，公司应尊重并执行该决定。如有异议，应通过法律途径解决，而不是采取不当手段干扰工伤认定或劳动能力鉴定过程。

五、员工与公司的沟通与协商

在工伤认定和劳动能力鉴定过程中，员工和公司应保持积极沟通，尽量通过协商解决争议。如果协商不成，可以寻求法律援助或通过法律途径解决纠纷。

总结来说，员工自己报工伤后，公司不能直接申请司法鉴定来推翻工伤认定决定，但可以在法律规定的期限内对工伤认定决定提起行政复议或行政诉讼。在整个过程中，员工和公司都应遵循法律程序，尊重工伤认定决定，并通过积极沟通和协商来解决争议。