结论：民办非企业到期没有换证导致法人资格终止后，一般情况下不能以原法人身份参加诉讼，但可能存在例外情形，且相关权利义务可能由清算组织或主管部门承继。以下为详细分析：
一、法人资格终止对诉讼主体资格的影响
根据《中华人民共和国民法典》及相关法律法规，法人资格终止意味着该法人作为民事主体的资格消灭，其不再具备享有民事权利和承担民事义务的能力。因此，在法人资格终止后，该法人原则上不能作为诉讼主体参与诉讼活动。对于民办非企业而言，如果其到期没有换证导致法人资格终止，那么它也就失去了以原法人身份进行诉讼的资格。
二、可能存在的例外情形
尽管法人资格终止后原则上不能参与诉讼，但在某些特殊情况下，可能存在例外。例如：
清算期间：如果民办非企业在法人资格终止后进入了清算程序，那么在清算期间，清算组织可以代表原法人参与诉讼活动，以处理与清算相关的债权债务等事宜。但需要注意的是，清算组织并非原法人本身，而是由相关人员组成的临时机构，其诉讼行为的效果归属于原法人（在清算范围内）。
法律特别规定：在某些特定情况下，法律可能规定即使法人资格终止，其仍可在一定期限内或针对特定事项保留诉讼主体资格。然而，就民办非企业而言，目前并未有明确的法律特别规定允许其在法人资格终止后继续参与诉讼。
三、权利义务的承继
在民办非企业法人资格终止后，其原有的权利义务通常不会随之消灭，而是会由相应的主体进行承继。这些主体可能包括：
清算组织：如前所述，在清算期间，清算组织负责处理原法人的债权债务等事宜，包括参与诉讼活动。
主管部门或举办者：在某些情况下，民办非企业的主管部门或举办者可能会根据相关法律法规或章程的规定，承继原法人的部分或全部权利义务。如果原法人存在未了结的诉讼事务，这些事务可能会由主管部门或举办者继续处理。
四、建议与注意事项
及时办理换证手续：为了避免法人资格终止带来的不便和风险，民办非企业应及时关注其登记证书的有效期，并在到期前按照相关规定办理换证手续。
妥善处理未了结事务：如果民办非企业确实因各种原因未能及时换证导致法人资格终止，那么它应尽快成立清算组织或指定相关人员负责处理未了结的诉讼事务和其他债权债务事宜。
咨询专业律师：在处理涉及法人资格终止和诉讼主体资格的问题时，建议咨询专业律师以获取更具体和准确的法律意见。
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