结论前置：房子抵押贷款逾期期间，工商卡（假设为贷款还款账户）是否可以注销需分情况讨论，具体如下：

1. 若工商卡为贷款合同约定的唯一还款账户
   根据《民法典》第六百七十五条及贷款合同约定，借款人需按约定方式还款。若注销该卡且未变更还款账户，可能导致还款失败，进而构成违约。此时银行有权依据合同宣布贷款提前到期，要求立即偿还全部本息，并可能采取诉讼、财产保全等措施。因此，在未与银行协商变更还款账户前，不得擅自注销该卡。

2. 若工商卡非唯一还款账户，或已变更还款账户
   若贷款合同允许通过其他账户还款（如绑定其他银行卡、线下还款等），或已与银行协商变更还款账户并完成手续，则原工商卡可注销。但需注意：

   • 变更还款账户需银行书面确认，避免因操作瑕疵导致还款记录争议；
     
   • 注销前应确保卡内无未结清费用（如年费、利息等），否则可能影响个人征信。

3. 逾期期间的特殊风险
   即使工商卡非还款账户，若贷款逾期，银行可能已通过法律程序冻结借款人名下资产（包括该卡）。此时注销申请可能被银行拒绝，或需先解除冻结状态。建议先联系银行确认卡片状态及还款义务，再决定是否注销。

行动建议：

• 立即联系贷款银行，说明逾期原因及还款计划，协商变更还款方式或申请延期；
  
• 若确需注销工商卡，务必先完成还款账户变更手续，并留存书面证据；
  
• 关注个人征信报告，避免因操作不当导致信用记录受损。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询贷款纠纷、合同审查等法律问题。