当政府行政处罚的强制执行裁定终结后，其后续影响及处理方式主要取决于终结的具体原因和情形。以下是对此问题的详细解答：

首先，我们需要明确行政强制执行终结的几种主要情形，这些情形通常包括：

1. 执行主体灭失且无承受人：

   • 若被处罚的公民死亡，且没有留下任何可供执行的遗产，同时也不存在愿意承担其义务的承受人（如继承人），则行政强制执行会因失去执行对象而终结。
   • 对于法人或其他组织，若其因破产、解散、撤销等原因终止，且没有剩余财产可供执行，亦无其他组织或个人愿意承担其义务，行政强制执行同样会终结。

2. 执行标的灭失：

   • 执行标的是行政强制执行所指向的具体对象，如特定的财物或行为。若该对象因自然灾害、意外事件或人为原因等不可抗力因素而灭失，且该标的为不可替代物，则强制执行会因失去执行基础而自然终结。

3. 执行依据被撤销：

   • 行政决定是行政强制执行的法律依据。若该行政决定因违法、不合理或其他法定原因被有权机关（如上级行政机关或人民法院）依法撤销，则强制执行会因失去合法基础而必须终结。

4. 其他特殊情形：

   • 包括国家政策重大调整导致原行政决定无法执行或无需执行；执行过程中发现新的证据或事实表明执行已不必要；或者义务的内容已通过其他途径（如自愿履行、和解等）得以实现等。

行政强制执行裁定终结后的影响及处理：

• 法律效果：一旦行政强制执行裁定终结，意味着该执行程序已经结束，行政机关或法院将不再继续对该案件进行强制执行。

• 后续义务：对于被处罚人而言，如果终结是因为已经履行了义务或通过其他方式实现了义务的内容，那么他们就不再需要承担进一步的法律责任。但如果终结是因为其他原因（如执行标的灭失或执行依据被撤销），且被处罚人原本应承担的义务并未实际履行，那么行政机关可能会根据具体情况，采取其他法律措施来确保义务的履行或追究相关责任。

• 行政机关的后续行动：行政机关在终结执行后，可能会对案件进行总结评估，分析终结的原因和影响，以便在未来类似案件中更好地行使职权。同时，如果终结是因为执行依据被撤销或存在其他违法情形，行政机关还可能需要承担相应的法律责任或进行内部整改。

综上所述，政府行政处罚的强制执行裁定终结后，其后续影响及处理方式取决于终结的具体原因和情形。行政机关应依法依规作出终结执行的决定，并确保行政执法的公正性和合理性。同时，被处罚人也应了解自己的法律地位和义务，以便在必要时采取适当的法律行动。