民事案件当事人不可以直接向作出生效判决的上一级检察院提出抗诉，但可以根据具体情况向相应级别的检察院申请抗诉或检察建议。以下是对这一问题的详细分析：
一、抗诉申请的常规路径
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十五条，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定有权提出抗诉；上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定也有权提出抗诉。地方各级人民检察院对同级人民法院的生效判决、裁定，若发现存在法定情形，可以向同级人民法院提出检察建议，并报上级人民检察院备案，或者提请上级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。
具体操作：
- 如果生效裁判是由基层人民法院作出的，当事人可以向该基层法院的同级人民检察院（即基层人民检察院）申请抗诉，也可以向其上一级人民检察院（即市级人民检察院）申请。但直接向上一级检察院提出抗诉并非常规操作，而是需要通过同级检察院提请或直接向同级检察院申请，由同级检察院决定是否提请上级检察院抗诉或直接向同级法院提出检察建议。
- 若生效裁判由中级人民法院作出，则当事人可向中级法院的同级人民检察院（即市级人民检察院）申请，或向更上一级的省级人民检察院申请抗诉，但同样需要遵循上述提请或申请的程序。
二、特殊情况下的抗诉申请
最高人民法院的生效裁判：
- 对于最高人民法院作出的生效裁判，由于最高人民检察院是我国检察机关的最高级别，因此只能由最高人民检察院进行抗诉，不存在上一级检察院的情况。此时，当事人若认为最高人民法院的生效裁判有误，应直接向最高人民检察院申请抗诉或检察建议。
地方检察院的提请抗诉：
- 地方各级人民检察院在发现同级人民法院的生效判决、裁定存在法定情形但认为不宜直接提出抗诉时，可以提请上级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。这一流程遵循《人民检察院民事诉讼监督规则（试行）》的相关规定。因此，当事人若认为地方各级人民法院的生效裁判有误，且同级检察院未直接提出抗诉，可以向同级检察院申请提请上级检察院抗诉。
三、当事人的申请权利与程序
申请条件与受理：
- 当事人认为生效的民事判决、裁定确有错误时，可根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零九条的规定，向作出生效判决、裁定的人民法院所在地同级人民检察院申请检察建议或者抗诉。人民检察院控告检察部门负责受理，并在规定时间内进行审查。
审查期限与决定：
- 人民检察院应在三个月内审查终结并作出决定，特殊情况下可延长审查期限。审查期间不包括调卷、鉴定等所需时间。当事人提交申请时，应附带充分的证据材料和申请书，明确申诉的理由和请求。
申请次数限制：
- 当事人在得到人民检察院的决定后，不得再次就同一事项向人民法院或人民检察院申请检察建议或者抗诉。
四、建议与注意事项
- 遵循法定程序：当事人在申请抗诉或检察建议时，应严格遵守相关法律法规和程序要求，确保申请材料的完整性和真实性。
- 寻求专业帮助：由于法律程序复杂且专业性强，建议当事人在申请抗诉或检察建议前咨询专业律师或法律机构，以获取更具体的法律建议和指导。
- 保持理性与耐心：法律程序往往需要一定的时间和过程，当事人在申请抗诉或检察建议时应保持理性与耐心，积极配合相关部门的调查和审查工作。
综上所述，民事案件当事人不可以直接向作出生效判决的上一级检察院提出抗诉，但可以根据具体情况向相应级别的检察院申请抗诉或检察建议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。