在刑事案件中，公安机关的办案期限是一个涉及多个阶段且受多种因素影响的复杂问题。为了给您提供清晰、详细且深入的解答，我将从侦查阶段开始，逐步解释公安机关在不同诉讼阶段的办案期限及其起算时间。

一、侦查阶段

在侦查阶段，公安机关的办案期限主要围绕对犯罪嫌疑人的侦查羁押期限展开。

1. 一般侦查羁押期限：

   • 根据《刑事诉讼法》的规定，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限通常不得超过2个月。这一期限的起算时间是从犯罪嫌疑人被逮捕的次日开始计算。

2. 特殊侦查羁押期限：

   • 若案情复杂、期限届满不能终结的案件，可经上一级人民检察院批准延长1个月。
   • 对于特别重大复杂的案件，或因特殊原因在较长时间内不宜交付审判的，可由最高人民检察院报请全国人民代表大会常务委员会批准延期审理（但这种情况较为罕见）。
   • 交通十分不便的边远地区的重大复杂案件、重大的犯罪集团案件、流窜作案的重大复杂案件以及犯罪涉及面广且取证困难的重大复杂案件，在规定期限届满仍不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或决定，可以延长2个月。
   • 若犯罪嫌疑人可能判处10年有期徒刑以上刑罚，且依照上述规定延长期限届满后仍不能侦查终结，经同级人民检察院批准或决定，可以再延长2个月。
   • 重新计算侦查羁押期限的情况：
     • 在侦查期间，若发现犯罪嫌疑人另有重要罪行，自发现之日起重新计算侦查羁押期限。
     • 对于身份不明的犯罪嫌疑人，侦查羁押期限自查清其身份之日起计算，但不得停止对其犯罪行为的侦查取证。

二、审查起诉阶段（虽主要由人民检察院负责，但涉及公安机关的补充侦查）

• 在审查起诉阶段，虽然主要由人民检察院进行，但若人民检察院认为案件需要补充侦查，会要求公安机关进行补充侦查。补充侦查的期限为1个月，且以二次为限。补充侦查完毕后移送人民检察院的，人民检察院会重新计算审查起诉期限。这一阶段虽然不直接由公安机关主导，但公安机关的补充侦查工作会影响整个案件的办案期限。

三、审判阶段（虽主要由人民法院负责，但了解起算对整体把握有帮助）

• 审判阶段的办案期限起算时间为人民法院受理案件的次日。虽然这一阶段主要由人民法院负责，但了解审判阶段的办案期限有助于您全面把握刑事案件的整个流程。不同程序下的审理期限有所不同，如普通程序、简易程序、速裁程序等，具体期限可参照相关法律法规。

总结与建议

• 公安机关在刑事案件中的办案期限主要围绕侦查羁押期限展开，其起算时间通常为犯罪嫌疑人被逮捕的次日。
• 办案期限可能因案情复杂、特殊原因或补充侦查等因素而延长或重新计算。
• 在处理刑事案件时，建议您充分了解并遵循相关法律法规和司法解释的规定，以确保办案程序的合法性和正当性。
• 若您对具体案件的办案期限有疑问或需要进一步的法律帮助，建议咨询专业的法律人士或机构，以便更准确地了解案件进展和自身权益。