在公路上无证压死狗是否需要赔偿，这主要取决于狗是否有主人以及主人是否采取了合理的管控措施，同时也会考虑是否存在特殊约定、当地习惯或法定免责情形。以下是对这一问题的详细分析：
需要赔偿的情形：
- 狗有主人且已采取合理管控措施：如果狗是有主人的，并且主人已经按照相关规定对狗采取了合理的管控措施（如佩戴项圈、牵狗绳等），司机在行驶过程中因过错（如注意力不集中、未及时避让）导致狗死亡，那么司机通常需要承担赔偿责任。赔偿金额一般以狗的实际价值为准，会综合考虑狗的品种、购买价格、饲养成本等因素来确定。例如，如果是一只价值较高的纯种犬，且主人能够提供购买发票、饲养记录等证据，那么赔偿金额可能会相对较高。
- 存在特殊约定或当地习惯：若公路所在地区存在特殊的约定或习惯，对于公路上发生的动物伤亡事件有明确的处理方式，且不违反法律法规的强制性规定，那么应按照该约定或习惯来处理赔偿事宜。比如，某些地区可能规定，无论狗是否有主人，司机都需要承担一定的赔偿责任，或者根据狗的价值和司机的过错程度来划分赔偿责任。
不需要赔偿的情形：
- 狗未采取管控措施：如果狗主人没有对狗进行有效的管控，狗处于无人看管的自由流浪状态，在公路上随意穿梭，且司机在正常行驶过程中已经采取了必要的制动等避让措施但仍然无法避免压到狗，那么司机通常不需要承担赔偿责任。因为此时狗的行为已经构成了对公路交通安全的潜在威胁，司机在无法预见和避免的情况下发生事故，不应承担责任。
- 紧急避险等法定免责情形：在紧急情况下，如为避免更大的危险（如躲避失控车辆、行人突然闯入公路等）而不得已压死了狗，这属于紧急避险行为。根据法律规定，因紧急避险造成损害的，由引起险情发生的人承担民事责任。如果险情是自然原因引起的，紧急避险人不承担民事责任或者给予适当补偿。因此，在这种情况下，司机也不需要对压死狗的行为承担赔偿责任。
综合建议：
- 在处理此类问题时，首先应判断狗是否有主人以及是否采取了合理的管控措施。这可以通过观察狗的外观（如是否有项圈、狗绳等）、询问周围群众或查看监控录像等方式来确定。
- 其次，要了解当地是否存在特殊的约定或习惯，并确认其是否合法有效。这可以通过咨询当地相关部门或查阅相关法律法规来了解。
- 最后，如果涉及紧急情况或法定免责情形，应依法进行认定和处理。在紧急情况下，司机应尽可能保留相关证据（如行车记录仪视频、现场照片等），以便在后续处理中证明自己的清白。
后续行动建议：
- 如果您遇到了类似的情况，建议首先保持冷静，不要与狗主人或其他相关人员发生争执。
- 及时报警并保护好现场，等待交警或相关部门前来处理。
- 如果需要赔偿或涉及法律纠纷，可以向我咨询具体的法律意见和解决方案。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。