盗挖公益林树木属于违法行为，需承担行政处罚责任，情节严重的可能构成刑事犯罪，需承担刑事责任，同时需承担民事赔偿责任。具体处理方式如下：

1. 行政处罚
   根据《中华人民共和国森林法》第七十六条，盗伐林木的，由县级以上人民政府林业主管部门责令限期在原地或者异地补种盗伐株数一倍以上三倍以下的树木，可以处盗伐林木价值三倍以上五倍以下的罚款。若涉及公益林，处罚力度可能更严格，因公益林具有生态保护功能，破坏行为对环境的损害更大。

2. 刑事责任
   若盗挖树木数量较大（如盗伐林木20立方米以上或幼树1000株以上），可能构成《中华人民共和国刑法》第三百四十五条规定的“盗伐林木罪”，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的（如盗伐林木100立方米以上或幼树5000株以上），处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。若以非法占有为目的，擅自砍伐国家、集体或他人所有的公益林树木，即使未达到刑事立案标准，也可能因“滥伐林木”被追究行政责任。

3. 民事赔偿
   盗挖行为导致公益林生态功能受损的，行为人需承担民事赔偿责任，包括恢复生态的费用（如补种树木、养护成本）及生态服务功能损失（如碳汇损失、水土保持功能下降等）。赔偿标准可能依据地方性法规或司法鉴定确定。

处理流程建议：

• 发现盗挖行为后，应立即向当地林业主管部门或公安机关报案，由执法部门调查取证。
  
• 执法部门会委托专业机构评估树木价值、生态损失，作为处罚或赔偿依据。
  
• 若对行政处罚不服，可申请行政复议或提起行政诉讼；若涉及刑事犯罪，由公安机关立案侦查，检察院提起公诉。
  

特别提醒：公益林受法律严格保护，即使持有普通林木采伐许可证，也不得擅自采伐公益林。如有合法需求，需向省级林业主管部门申请专项审批。

如有具体案件细节（如盗挖数量、地点、是否初犯等），可进一步向我咨询，我会结合案情分析责任承担方式。