买自行车时店主不开发票是违法的。以下是对此问题的详细解答：
法律依据
《中华人民共和国发票管理办法》第十八条： 该条款明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方应当向付款方开具发票。这意味着，当您购买自行车并支付款项时，店主有义务向您开具发票。
《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十二条： 该条款进一步强调，经营者提供商品或服务时，应按照国家规定或商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或服务单据。当消费者索要这些凭证时，经营者必须出具。因此，您作为消费者，有权要求店主开具发票。
发票的重要性与影响
消费者权益保护： 发票是消费者购买商品的直接证据。对于自行车而言，它是上牌、维修、退换货以及后续转让的必要凭证。没有发票，您在车辆出现问题时将难以维权。
税收管理： 发票是税收征管的重要依据。店主不开具发票可能隐匿收入，逃避纳税义务，从而破坏税收征管秩序。这不仅损害了国家的税收利益，也可能导致店主面临法律处罚。
会计核算： 发票也是企业会计核算的原始依据。对于店主而言，合规开具发票有助于其进行财务管理和税务申报，确保经营活动的合法性和规范性。
法律责任
行政处罚： 根据《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，店主应当开具而未开具发票的，税务机关将责令其改正，并可以处以罚款。罚款金额可能根据违法情节的严重程度而有所不同。
刑事责任： 如果店主的行为构成犯罪，如逃税罪等，还将依法追究其刑事责任。这可能导致店主面临更严重的法律后果，包括有期徒刑和罚金等。
应对措施与建议
沟通补开： 首先，您可以尝试与店主沟通，要求其补开发票。在沟通过程中，您可以明确告知店主其法律义务和不开具发票可能面临的法律后果。
投诉举报： 如果店主拒绝补开发票或无法联系，您可以向当地税务机关或消费者保护机构举报。在举报时，请提供相关购买证据，如交易记录、聊天记录等，以便相关部门进行调查和处理。
法律途径： 在必要时，您还可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。例如，您可以向法院提起诉讼，要求店主承担因不开具发票而给您造成的损失。
综上所述，买自行车时店主不开发票是违法的行为。作为消费者，您有权要求店主开具发票，并在遇到问题时采取正确的应对措施。同时，店主也应严格遵守相关法律法规，履行出具发票的义务，以确保经营活动的合法性和规范性。