在车辆被撞且对方全责的情况下，调取监控的责任主要在于交警部门，但具体流程和申请方式可能因情况而异。以下是对此问题的详细分析：
一、交警主动调取监控的情形
当事人报警并符合出警和调查条件：
- 当车辆被撞后，若您及时报警，交警到达现场进行初步勘查时，若发现存在需要通过监控来进一步查明事故情况的合理需求（如事故责任难以判断、有一方对事故发生过程描述不清等），交警通常会主动调取周边监控视频，以便更准确地划分责任和确定双方的过错程度。
涉嫌肇事逃逸：
- 若对方撞车后逃逸，根据《道路交通事故处理程序规定》，公安机关交通管理部门将立即启动查缉预案，并通过全国机动车缉查布控系统查缉。此时，调取周边道路监控视频查找逃逸车辆及驾驶人成为重要的侦查手段，交警会积极调取并查看相关监控。
二、当事人申请调取监控的情形
当事人有合理理由且手续合规：
- 即使事故现场情况相对简单，初步判断责任较为清晰，但若您对事故的某些细节存在争议（如碰撞位置、车辆行驶轨迹等），您可以向交警提出调取监控的申请。只要申请理由合理，并按照交警部门的要求办理相关手续，交警可能会根据实际情况调取监控，以进一步查明事实并消除争议。
现场未报警事后请求处理：
- 如果您未在道路交通事故现场报警，但事后请求公安机关交通管理部门处理，且经核查道路交通事故事实确实存在，公安机关交通管理部门在受理的情况下，若需要借助监控还原事故经过，您提出申请后，交警也可能会调取监控视频作为证据。
三、建议与总结
- 及时报警：无论事故情况如何，及时报警都是首要步骤。这有助于交警及时介入，保护现场，并调取必要的监控视频。
- 配合调查：在交警调查过程中，积极配合提供相关信息和证据，包括监控视频的调取申请（如果适用）。
- 保留证据：除了依赖交警调取的监控视频外，您也可以自行尝试获取相关证据，如用手机拍摄事故现场照片、记录目击者信息等。
- 咨询律师：在处理此类事故时，如果您对法律程序或责任划分有疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
总之，在车辆被撞且对方全责的情况下，调取监控的责任主要在于交警部门。但作为当事人，您也有权根据合理理由申请调取监控，并在整个过程中积极配合交警的调查工作。