小区业主无权让物业随便伐公共树木。这一结论基于以下几点法律分析和建议：

一、树木权属与法律保护

小区内的公共树木，通常属于全体业主共有，是小区环境的重要组成部分，受到法律的严格保护。根据《城市绿化条例》第二十条的规定，任何单位和个人都不得损坏城市树木花草和绿化设施，这明确禁止了擅自砍伐小区树木的行为。因此，无论是业主还是物业，都无权擅自决定砍伐这些树木。

二、物业的职责与权限

物业作为小区的管理服务机构，其主要职责是维修、养护、管理房屋及配套的设施设备和相关场地，维护物业管理区域内的环境卫生和相关秩序。砍树并不在物业的常规服务职责范围内，除非得到业主大会或相关部门的明确授权。因此，业主不能随意要求物业砍伐公共树木，物业也无权擅自进行砍伐。

三、砍伐树木的合法程序

如果确实需要砍伐小区内的公共树木，必须遵循以下合法程序：

1. 提出申请：由业主委员会或物业管理公司向城市绿化行政主管部门提出砍伐申请。
2. 提交证明材料：说明砍伐的原因和必要性，如树木存在安全隐患、妨碍居民生活等。
3. 获得批准：经相关部门批准后，由专业人员进行操作，并确保符合相关规定和标准。
4. 补植或补救：按照国家有关规定补植树木或采取其他补救措施，以维护小区的生态环境。

四、违法行为的法律责任

如果业主或物业未经批准擅自砍伐小区树木，将面临以下法律责任：

1. 行政处罚：责令停止侵害、罚款等行政处罚。
2. 赔偿责任：若砍伐行为造成损失，还需承担相应的赔偿责任。
3. 刑事责任：情节严重构成犯罪的，还可能依法追究刑事责任，如触犯《中华人民共和国刑法》中关于盗伐林木罪或滥伐林木罪的规定。

五、建议与措施

1. 加强沟通：业主和物业应加强沟通，共同制定合理的管理规定，确保小区绿化环境的和谐与美观。
2. 依法行事：如果确实需要砍伐树木，必须严格按照法律法规的规定进行申请和审批。
3. 及时举报：业主若发现物业或他人有擅自砍伐树木的行为，应及时向居委会、城市绿化行政主管部门等部门举报投诉，以维护自身的合法权益和小区的整体环境。

总结来说，小区业主无权让物业随便伐公共树木。物业和业主都应严格遵守相关法律法规，确保砍伐行为的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。