法律援助中心不属于国家机关，而是由政府设立的公益性机构，隶属于司法行政部门。以下是对此问题的详细分析：

一、法律援助中心的性质与设立依据

法律援助中心是政府为经济困难或特殊案件的当事人设立的提供免费法律服务的机构。其设立依据主要是《中华人民共和国法律援助法》，该法规定县级以上人民政府司法行政部门应当设立法律援助机构。法律援助中心作为政府法律援助机构的正式名称，是司法行政体系的组成部分，通常依托于司法局设立，但其性质属于事业单位或非营利性事业组织，而非国家机关。

二、法律援助中心与国家机关的区别

1. 性质不同：国家机关是指行使国家权力、管理国家事务的机关，如政府、法院、检察院等。而法律援助中心虽然由政府设立，但其主要职责是提供法律援助服务，不直接行使国家权力。
2. 职能不同：国家机关的职能广泛，涉及政治、经济、文化等各个领域。而法律援助中心的职能相对单一，主要是为经济困难或特殊案件的当事人提供法律援助服务。
3. 组织架构不同：国家机关通常有严格的组织架构和层级关系。而法律援助中心的组织架构相对灵活，可能根据实际需要设立不同的部门或岗位。

三、法律援助中心的服务内容与意义

法律援助中心的服务内容十分广泛，涵盖了民事、行政和刑事等多个领域。它为经济困难或特定人员提供无偿法律服务，确保弱势群体获得法律帮助。通过提供法律咨询、代理、刑事辩护等法律服务，法律援助中心有助于实现法律的公平与正义，促进社会的和谐与稳定。

四、法律援助中心的经费来源与支持

法律援助中心的经费主要来自政府财政拨款，确保了其公益性和服务的可持续性。同时，国家鼓励和支持社会力量通过依法捐赠等方式为法律援助事业提供支持，并对符合条件的捐赠给予税收优惠，以进一步拓宽经费来源渠道，增强法律援助的覆盖面和服务能力。

总结与建议：

法律援助中心虽然由政府设立并隶属于司法行政部门，但其性质属于事业单位或非营利性事业组织，而非国家机关。它在保障公民合法权益、维护社会公平正义方面发挥着重要作用。如果您在法律方面遇到任何问题，特别是涉及法律援助的申请和流程等方面的问题，可以直接向我咨询，我将为您提供专业的法律建议和帮助。