当医疗纠纷中涉及欠费，且医院选择将此事起诉至法院时，整个处理流程会遵循民事诉讼的相关程序。以下是对此过程的详细解释：

一、起诉前的准备

1. 证据收集：医院会首先收集充分的证据来证明患者确实接受了医疗服务且存在未支付的医疗费用。这些证据可能包括病人的病历、诊断证明、费用清单等。

2. 诉讼材料准备：医院会撰写起诉状，明确列出原告（医院）和被告（患者）的基本信息、诉讼请求（如要求患者支付欠费及可能的利息等）、事实与理由（简述医疗服务过程和欠费情况）。

二、向法院提起诉讼

医院会向有管辖权的法院（通常是患者住所地或医疗服务合同履行地的法院）提起诉讼，并提交相关证据材料。法院在受理案件后，会向被告送达起诉状副本等法律文书，并安排开庭时间。

三、庭审阶段

1. 法庭调查：在庭审过程中，法院会进行法庭调查，包括询问双方当事人、出示证据等。医院需要积极参与，向法庭陈述事实，出示证据，并回应被告的答辩和质证。

2. 法庭辩论：双方当事人会进行法庭辩论，就争议焦点进行阐述和反驳。医院需要就其诉讼请求和事实依据进行充分说明。

3. 判决：最终，法院会根据双方当事人的陈述和证据，依法作出判决。如果医院提供的证据充分，且被告确实存在未支付的医疗费用，法院很可能会判决被告承担支付欠款、利息及诉讼费用等法律责任。

四、判决后的执行

1. 履行判决：如果被告在判决规定的期限内履行了判决，那么案件就此结束。

2. 强制执行：如果被告拒不履行判决，医院可以在规定时间内向法院申请强制执行。法院会采取一系列强制执行措施，如查封、冻结被告的财产，甚至限制被告的高消费行为等，以确保判决得到执行。

五、注意事项

• 诉讼时效：需要注意的是，民事诉讼的诉讼时效为三年。如果医院在三年内未提起诉讼，且没有发生诉讼时效中断或中止的情况，那么其胜诉权可能会受到影响。

• 理性对待：无论是医院还是患者，都应该理性对待诉讼结果。如果判决有利于医院，医院应积极申请执行；如果判决不利于医院，医院也应理性接受，并考虑是否通过其他途径解决争议。

综上所述，当医疗纠纷中涉及欠费且医院选择起诉至法院时，整个处理流程会遵循民事诉讼的相关程序。医院需要收集充分证据、准备诉讼材料、向法院提起诉讼，并积极参与庭审和执行阶段。同时，双方当事人都应该理性对待诉讼结果。